Windenergie


Kijk voor dit onderwerp uiteraard terug naar de eerstejaarsmodulew.

Een windturbine haalt energie uit de stromende wind. Als we naar de mechanische-energiebalans kijken,
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$ dan zien we dat daar enkele termen gelijk zijn aan nul. Want als we langs een stroomlijn met de lucht meereizen, geldt:
• de druk ver vóór de windturbine is gelijk aan de druk ver achter de windturbine ($p_1 = p_2 = p_0$);
• de hoogte van de stroomlijnen gemiddeld is vóór de turbine gelijk aan erachter ($z_1 - z_2$ ≈ 0);
• er is nauwelijks wrijving ($Φ_f$ = 0).
Bovendien is de toestand stationair, dus $dE_m$/$dt$ = 0.
We houden dus over:
$$0 = Φ_m1/2(v_1^2-v_2^2) + Φ_w$$ Het vermogen aan mechanische energie dat uit de wind gehaald wordt, $P_m = -Φ_w$, moet dus geheel uit een snelheidsverlaging van de lucht komen:
$$P_m = Φ_m1/2(v_1^2-v_2^2)=Aρ1/2(v_1+v_2)1/2(v_1^2-v_2^2)$$ waarin $A$ het oppervlak is dat door de rotorbladen wordt bestreken. Dit kunnen we omwerken naar:
$$P_m = 1/4Aρv_3^3\{{1-({v_2}/{v_1})^2+{v_2}/{v_1}-({v_2}/{v_1})^3}\}$$ De term binnen accolades heeft een maximum bij $x={v_2}/{v_1}=1/3$, zoals we kunnen vaststellen op basis van de afgeleide, en ook te zien is in figuur 1.

Figuur 1. Relatieve opbrengst windturbine als functie van ${v_2}/{v_1}$. (bron: Wikimedia Commons)
Daarmee kunnen we het theoretisch maximaal te behalen vermogen vaststellen:
$$P_{th} = {16}/{27}·1/2·ρ·v_1^3A$$ ofwel 16/27 ≈ 0,593 van het vermogen aan kinetische energie van de wind die door het oppervlak A stroomt (dit is de wet van Betzw).
Voor een werkelijke situatie kunnen we schrijven:
$$P = 1/2 C_pρv_w^3A$$ waarin $C_p$ de prestatiecoëfficiënt is (die dus maximaal 0,593 kan bedragen), en A het door de turbinebladen bestreken oppervlak ($πr^2$ voor bladen met lengte $r$). De prestatiecoëfficiënt is eigenlijk ook nog afhankelijk van de windsnelheid, maar dit valt buiten de inhoud van deze module.

Weibull-verdeling


Het is een open deur om te zeggen dat het niet altijd even hard waait. Om een windmolen te ontwerpen, zullen we meer moeten weten over hoe vaak het hard genoeg (én niet te hard) waait. Deze kansdichtheidsverdeling van de windsnelheid blijkt voor veel locaties de vorm te hebben van de Weibull-verdelingw uit de kansrekening. In figuur 2 staan metingen met een daarbij aansluitende Weibull-kromme (in rood):


Figuur 2. Gemeten windsnelheidsverdeling en Weibull-kromme. (bron: Wikimedia Commons)

Uit de grafiek kunnen we zien dat de vaakst voorkomende wind een lagere snelheid heeft dan de gemiddelde windsnelheid. Ook zien we dat de grafiek aan de rechterkant een staart heeft met extreme windsnelheden.

(De ook in figuur 2 getekende normale verdeling (in blauw) heeft niet zoveel zin: nemen we die als modelkromme, dan kunnen we negatieve windsnelheden verwachten.)

Een windturbine heeft een minimale windsnelheid ($v_{min}$) nodig om rendabel te kunnen draaien. Bij lagere windsnelheden zijn de kosten van slijtage hoger dan de opbrengsten van de windenergie. Bij hogere windsnelheden neemt het vermogen dat uit de wind gehaald kan worden toe met de derde macht van de windsnelheid, zoals we zagen. Bij een bepaalde windsnelheid levert de turbine het maximale vermogen. Wordt de windsnelheid nog hoger, dan zal ervoor gezorgd worden dat het vermogen niet verder oploopt, om beschadiging te voorkomen. Dit kan bijvoorbeeld door de molen enigszins uit de wind te draaien, of door de rotorbladen wat te kantelen. Boven een windsnelheid $v_{max}$ is het gevaar voor beschadiging te groot, en wordt de molen uit bedrijf genomen. De totale opbrengstcurve ziet er alles bij elkaar uit zoals in figuur 3.


Figuur 3. Het vermogen van een windturbine (in rood) en een Weibull-kromme (blauw) als functie van de windsnelheid.

Figuur 4 laat zien dat het, doordat de energie evenredig is met de derde macht van de snelheid, gunstiger is om een windturbine te ontwerpen voor de "staart" van de Weibull-kromme dan voor de meest voorkomende windsnelheden.


Figuur 4. Weibull-kromme (rood) en energieopbrengst (blauw). (bron: Wikimedia Commons)

Capaciteitsfactor


Een windturbine draait, zoals uit figuur 3 blijkt, lang niet altijd op vol vermogen. De in werkelijkheid opgewekte energie per jaar gedeeld door wat het maximale vermogen in een jaar opgeleverd zou hebben, wordt de capaciteitsfactor genoemd:
$$C = {E_{jaar}}/{P_{max}t_{jaar}}$$ Turbines op het land hebben doorgaans een capaciteitsfactor van 20 à 25%, maar op zee kan de factor, door de veel constantere wind, oplopen tot zo'n 35 tot 40%. De capaciteitsfactor van een te installeren turbine kan van tevoren geschat worden door de Weibull-curve van de locatie te vermenigvuldigen met de vermogenskarakteristiek van de turbine.

Windmolenparken


In windmolenparken beïnvloeden de turbines het rendement van de benedenwindse turbines. De turbulentie in de lucht wordt sterker en de gemiddelde snelheid neemt af, zoals boven besproken. Deze interactie tussen turbines valt buiten de inhoud van deze module.

Typen windturbines


Naast de meest bekende windturbine, met een horizontale as, zijn er nog andere typen. Zie bijvoorbeeld onderstaande animaties.

 ⬇ Drie hoofdtypen windturbine
 ⬇ Getordeerde Savoniusrotor
 ⬇ cartoon (xkcd.com)

Vraagstukken

Capaciteitsfactor

Onderstaande figuur geeft de gemeten windsnelheidsverdeling van een locatie waar een windturbine gepland is.
Kies realistische waarden voor de lengte van de rotorbladen, de prestatiecoëfficiënt, $v_{min}$ en $v_{max}$ en het maximale vermogen, en maak een schatting van de capaciteitsfactor die de windturbine dan heeft.

Laatste wijziging: 17-03-2020
Creative Commons-Licentie
Deze publicatie valt onder een Creative Commons licentie. Zie hiervoor het colofon.