Fysische transportverschijnselen


Het vakgebied fysische transportverschijnselen houdt zich bezig met het transport van warmte, massa en impuls op grote en kleine schaal.
De twee belangrijkste hulpmiddelen zijn balansvergelijkingen en transportvergelijkingen.


Dit zijn voorbeelden van "grootschalige" vragen die je er kunt tegenkomen:

warmte
• Hoe dik moet de isolatielaag van een voorraadvat zijn om de temperatuur binnen vereiste grenzen te houden?
• Hoe snel stijgt de temperatuur in een geroerd vat als er heet water binnenstroomt?

massa
• Hoe snel stijgt de concentratie vervuiling in een regendruppel die door rookgas valt?
• Hoe lang duurt het voordat een laag zout is opgelost in spoelwater?
• Hoe snel daalt de concentratie in een reactor als de invoerstroom uitvalt?

impuls
• Hoe groot is het vermogen dat we maximaal uit de wind kunnen halen?
• Hoe groot is het vermogen dat nodig is om gas uit Groningen naar Delft te pompen?
• Hoeveel energie kunnen we uit een stuwmeer halen waarin het water 100 m boven het dalniveau staat?


Leidingen van waterkrachtcentrale (bron: Wikimedia Commons)

Maar ook in het dagelijks leven kun je er vragen mee beantwoorden:

warmte
• Waarom moet je een brandwond met stromend water koelen en niet in stilstaand water?
• Hoe lang na het inschenken van thee kun je de buitenkant van de mok niet meer vasthouden?

massa
• Waarom ontstaan er belletjes in frisdrank of bier bij het openen van de fles?
• Waarom is het totale oppervlak van de longblaasjes zo groot?

impuls
• Waarom blijft tandpasta op de muur hangen en stroop niet?
• Waarom zakt het waterpeil bij de kade van een Delftse gracht als er een rondvaartboot langs vaart?
• Waarom dalen de belletjes in een glas Guinness langs de zijwand?


Guinness (bron: Wikimedia Commons)

Weerstandskracht


Een schip, een fietser, een lepel in yoghurt, een vlaggenmast: ze ondervinden allemaal een weerstandskracht bij een snelheidsverschil met het omringende fluïdumw. Deze kracht is tegengesteld is aan de bewegingsrichting, en afhankelijk van de stofeigenschappen van de vloeistof, de vorm en afmetingen van het voorwerp, en de onderlinge snelheid $v$ van het voorwerp en het fluïdum:

$$F_d = C_d · 1/2 ρ_f v^2 A_\⟘$$ Hierin is
• $C_d$ weerstandscoëfficiënt, die wordt bepaald door de vorm van het voorwerp en de waarde van het getal van Reynolds: $Re = {ρvx}/µ$
• $ρ_f$ de dichtheid van het fluïdum
• $A_\⟘$ het loodrechte oppervlak van het voorwerp

Het getal van Reynolds zullen we vaak tegenkomen.
Het is een van de vele dimensieloze getallen die gebruikt worden in dit vakgebied.

De waarde van $C_d$ kun je op drie manieren bepalen:
• Voor bollen, cilinders en schijven is $C_d$ als functie van $Re$ gegeven op TPDC-81.
• Voor verschillende andere voorwerpen is $C_d$ gegeven in de tabel op TPDC-79.
• Voor overige voorwerpen (of voor situaties waar TPDC-79+81 geen waardes geven) kan een benadering gemaakt worden op basis van deze figuur en tabel.

Loodrecht oppervlak

Het loodrechte oppervlak is het "platte" oppervlak zoals dat gezien wordt vanuit de stromingsrichting van het fluïdum.
Voorbeeld: voor een cilinder met lengte $L$ en diameter $D$, waarvan de as loodrecht op de stroming staat, geldt $A_\⟘ = L D$, want dat is het oppervlak van de rechthoek die je ziet als je vanuit de stromingsrichting naar de cilinder kijkt.
Ander voorbeeld: wat is het loodrechte oppervlak van deze Kever?

(bron: Wikimedia Commons)
 ⬇ antwoord
Van de Kever hierboven is $A_\⟘$ gelijk aan het oppervlak van het zwarte vlak hieronder.

Hoeveel de vorm en het loodrechte oppervlak uitmaken in de weerstand is mooi te zien in dit filmpjew over de wielrenner Michael Guerra.

Stationaire eindsnelheid


Een voorwerp dat een andere dichtheid heeft dan het fluïdum waar het zich in bevindt, zal gaan stijgen of dalen. Als de snelheid toeneemt, neemt ook de weerstandskracht $F_d$ toe, totdat deze even groot is als het totaal van de zwaartekracht $F_g$ en de Archimedeskrachtw $F_A$ die op het voorwerp werken. Daarna geldt:

$$F_d + F_g + F_A = 0,$$ zodat het voorwerp met een constante eindsnelheid $v_t$ beweegt.

Voor bollen kunnen we deze formule omwerken tot een formule voor de eindsnelheid:

$$v_t = √{{4 (ρ_v - ρ_f) g D }/{3 C_d ρ_f}}$$ Het probleem is dat we $C_d$ nog niet kunnen weten, omdat $v$ nog niet bekend is. In dat geval moeten we itereren (zie ook figuur 1):

1. Maak een schatting van $C_d$.
2. Bereken met bovenstaande formule de waarde voor $v_t$.
3. Bereken $Re$.
4. Bepaal met TPDC-81 de bijbehorende waarde van $C_d$.
5. Herhaal vanaf (2) totdat $v_t$ niet meer verandert.


Figuur 1. Iteratie voor het bepalen van de stationaire valsnelheid.

Het is ook mogelijk om $v_t$ te schatten, en vervolgens bij stap (3) de iteratie in te gaan. Beide methoden leveren meestal binnen 2 à 3 iteraties een stabiele eindwaarde.

Wanneer een voorwerp nog niet de stationaire eindsnelheid bereikt heeft, is de weerstandskracht nog niet constant. In dat geval is er geen analytische oplossing mogelijk en zullen we een numerieke methode moeten gebruiken. Dat zullen we later doen.

Waarom beginnen we hiermee?


Met dit onderwerp zijn we midden in de praktijk van dit vak gedoken. We hebben kennisgemaakt met een aantal belangrijke praktische begrippen. Dimensieloze kentallen worden in dit vakgebied heel vaak gebruikt, omdat ze het mogelijk maken veel situaties te vangen in een enkele grafiek of formule. Ook het onderscheid tussen laminaire en turbulente stroming zullen we steeds tegengekomen, want veel verschijnselen vertonen een verschillend gedrag in deze twee regimes. We hebben logaritmische assen afgelezen, en ook die zullen we nogal eens zien, omdat de grootheden vaak vele ordes van grootte kunnen verschillen.

 ⬇ cartoon (xkcd.com)

⊕ Etymologie


Het subscript d van $F_d$ en $C_d$ komt uit het Engels: drag force = weerstandskracht.
Dat geldt ook voor het subscript t in $v_t$: terminal velocity = eindsnelheid.

⊕ Wrijvings- en vormweerstand


De weerstandskracht is opgebouwd uit twee delen: de wrijvingsweerstand en de vormweerstand. De eerste is klein, en heeft alleen invloed bij lage waarden van $Re$. Bij hogere snelheden is de vormweerstand snel dominant.

Vraagstukken


Meetsonde

Een bolvormige meetsonde (diameter van 10 cm, massa 2,0 kg) hangt aan een touw onder een helikopter en wordt met een snelheid van 1,0 m/s door het water gesleept. De sonde is geheel ondergedompeld.
a. Welke hoek maakt het touw met de verticaal? (Verwaarloos de kracht die door de lucht op het touw wordt uitgeoefend.)
b. Als de snelheid wordt opgevoerd tot 4,0 m/s, wat worden dan $C_D$ en $F_D$?
 ⬇ hint
Gebruik voor de verticale krachten m·g en de wet van Archimedes.
 ⬇ antwoord (a)
$Re$ = 1·105 ⇒ turbulent ⇒ $C_d$ = 0,43 ⇒ $F_d = C_d A_\⟘ 1/2 ρ v^2 = 0,43 π/4 (0,1)^2 1/2 1000 (1,0)^2$ = 1,69 N
$F_z = mg - π/6 D^3 ρ_w g$ = 15 N
$α = atan ({1,69}/{15}) = 6,4°$
 ⬇ antwoord (b)
$Re$ wordt 4·105 ⇒ $C_d$ wordt 0,08 (in de ‘dip’ van de grafiek!) ⇒ $F_d$ wordt 5,0 N

Anemometer

De windsnelheid wordt vaak gemeten met een anemometer (open halve bolletjes aan een rotortje - zie afbeelding hieronder). Beredeneer op basis van informatie uit TPDC waarom deze meter gaat ronddraaien als er wind staat.

Anemometer (bron: Wikimedia Commons)
 ⬇ antwoord
TPDC-79: Een halve bol met de opening naar de wind heeft een $C_d$ van 1,42, maar als de bolle kant in de wind staat, is $C_d$ slechts 0,34. De weerstandskracht is dus het grootst in het eerste geval, waardoor de anemometer zal gaan draaien.

Parachutist

a. Maak een schatting van de topsnelheid die een parachutist zou bereiken zonder parachute.
b. Maak een schatting van de topsnelheid van een parachutist met geopende parachute.
 ⬇ hint
Maak zelf schattingen van massa’s, afmetingen, weerstandscoëfficiënten, enz. In de uitwerking zijn ook schattingen gebruikt.
 ⬇ antwoord (a)
Zwaartekracht: $m·g$ = 80·10 N; weerstandskracht: $C_DA_\⟘1/2ρv^2$
$C_D$: cilinder: 1,0 (turbulent - controleren na afloop!)
$A_\⟘$ = 1,8·0,5 = 0,90 m²
⇒ $v = ({m·g}/{C_DA_\⟘1/2ρ})^{1/2}$ = 38 m/s; controle: $Re$ = 1,3·106: buiten de grafiek, maar we hebben nu niets beters.
 ⬇ antwoord (b)
$C_D$ wordt nu bepaald door de halve bol van de parachute, aangestoomd vanaf holle zijde: $C_D$ = 1,42.
$A_\⟘$ is nu het loodrechte oppervlak van de parachute (schatting diameter: 4 m) ⇒ 12,6 m².
v = 8,6 m/s; controle: Re = 2,3·106: net buiten de grafiek.

Tentamenvraagstukken

Dikke druppels - Marianentrog - Nuna 6 - Sneeuwvlok - Zwemmer

Laminaire en turbulente stroming


De twee stromingsregimes, laminaire stroming en turbulente stroming, die we bij de weerstandskracht zagen, zullen we vaak tegenkomen in deze module. Stromingen gedragen zich zo anders in deze twee regimes, dat ze meestal verschillende behandeling vragen. Bij lage waarden van $Re$ is een stroming laminair, bij hoge waarden turbulent. Het hangt van de geometrie van de stroming af (door een buis, rond een bol, tussen platen, enz.) bij welke waarde van $Re$ het omslagpunt ligt.

Klik hier voor een simulatie van laminaire stroming.w

 ⬇ animatie van laminaire (onder) en turbulente (boven) vloeistofstroming
 ⬇ animatie van wervels achter een bol die (ook in een verder laminaire stroming) ontstaan boven een bepaalde waarde van $Re$

Gezien op de schaal van de kleinste wervels is trouwens iedere stroming laminair.
Bekijk bijvoorbeeld de wervels in onderstaande simulatie.
Op grotere schaal is de stroming tamelijk willekeurig, maar op microschaal zijn het allemaal afschuivende lagen - en daar wordt de energie gedissipeerd in de vorm van warmte.

 ⬇ animatie van turbulente menging

Het gedrag van een turbulente stroming wordt geheel door de fysische vergelijkingen vastgelegd, en zou dus in principe voorspelbaar moeten zijn. De vergelijkingen zijn echter niet-lineair, waardoor zelfs de kleinste afwijkingen van de beginsituatie uiteindelijk gevolgen hebben voor de hele stroming. Een turbulent systeem is dus een chaotischw systeem.

Volgens een (niet-authentiek) verhaal zou Werner Heisenberg, een van de grondleggers van de quantummechanica, hebben gezegd: "Mocht ik God ontmoeten, dan zal ik hem twee vragen stellen: Waarom relativiteit? En waarom turbulentie? Volgens mij zal hij op de eerste vraag wel een antwoord hebben." (Marshak (2005))

⊕ Etymologie

laminair: lamina (Latijn) = "dunne plaat, laagje, blad"
turbulent: turbulentus (Latijn) = "opstandig, stormachtig, verstoord"

Balansvergelijkingen

Een balansvergelijking beschrijft de verandering van een grootheid in de tijd ten gevolge van in- en uitstromende hoeveelheden van die grootheid en de productie ervan. De algemene vorm van een balans is:
verandering = instroom – uitstroom + productie

ofwel, in formulevorm:
$${dX}/{dt} = Φ_{X, in} - Φ_{X, uit} + P$$ Bij het opstellen van een balans moet je altijd definiëren over welke variabele de balans wordt opgesteld en voor welke ruimte (het "controlevolume").

Voorbeelden:
• een warmtebalans opgesteld over een collegezaal;
• een balans opgesteld voor de suikermassa in een vergistingsvat;
• een impulsbalans opgesteld over een spuitmond.

Energie, massa en impuls


In deze module kijken we naar de balansen voor warmtebalansen, massabalansen en impulsbalansen:

$${dq}/{dt} = Φ_{q, in} - Φ_{q, uit} + P_q$$ $${dm}/{dt} = Φ_{m, in} - Φ_{m, uit} + P_m$$ $${dp}/{dt} = Φ_{p, in} - Φ_{p, uit} + P_p$$ In een warmtebalans kunnen de termen bijvoorbeeld staan voor:
• $Φ_{q, in}$ en $Φ_{q, uit}$: de warmte die met ventilatielucht een ruimte respectievelijk in- en uitstroomt;
• $Φ_{q, in}$: de warmte die door geleiding stroomt door de bodem van een pan op het vuur;
• $P_q$: de warmte die ontstaat door een exotherme reactie.

De productieterm kan ook negatief zijn, zoals in het geval van een reactorvat waarin een endotherme reactie optreedt.

Stationaire toestand


Als geen van de variabelen in de vergelijking van waarde verandert, noemen we de toestand stationair. Een voorbeeld is de massabalans van een voorraadvat voor drinkwater waar gedurende een bepaalde tijd evenveel in- als uitstroomt. Het water in het vat wordt telkens vernieuwd, maar de massa in het vat blijft constant. In dat geval geldt dus:

$${dm}/{dt} = 0$$ ofwel:

$$0 = Φ_{m, in} - Φ_{m, uit} + P_m$$
Hier is sprake van een dynamisch evenwichtw.

Warmtebalans


Voor de warmte $q$ in een afgebakend volume geldt:
$${dq}/{dt} ={d(ρc_pVT)}/{dt} = ρc_pV{dT}/{dt} = Φ_{q, in} - Φ_{q, uit} + P_q$$ Het tweede gelijkheidsteken geldt als $ρ$, $c_p$ en $V$ constant zijn.
De termen $Φ_{q, in}$ en $Φ_{q, uit}$ staan voor het warmtetransport, respectievelijk het volume in en uit.
De term $P_q$ is de mogelijke productie van warmte in het volume.

Voor de warmte die met een fluïdum meestroomt, het volume in of uit, kunnen we schrijven: $Φ_q = Φ_vρc_pT$.

Vraagstukken

Woning

Op het middaguur van een zonnige dag komt door een raam op het zuiden 1,0 kW aan zonnestraling een kamer binnen. De kamer heeft een volume van 30 m³, dat als goed gemengd mag worden beschouwd. De omgevingstemperatuur is 20 °C. Door een opening in het raam stroomt buitenlucht naar binnen (50 L/s), terwijl lucht door een deuropening uit de kamer verdwijnt. Verwaarloos de warmtegeleiding door ramen en muren. Wat is in de stationaire situatie de luchttemperatuur in de kamer?
 ⬇ antwoord
${dq}/{dt} = 0 = ρ·c_p·Φ_v·(T_{buiten}-T) + Φ_{zon}$ ⇒ $(T_{buiten}-T) = - Φ_{zon} / {ρ·c_p·Φ_v} = - 1000 / {1,2·1,0·10^3·0,05}$ = -16,7 °C ⇒ T = 37 °C

Ventilator

Een apparaat bevat een onderdeel dat een constante warmteafgifte van 100 W heeft. De luchtinhoud van het apparaat is 10 liter. De temperatuur van de lucht ($T$) mag niet boven 45 °C uitkomen, dus is een ventilator aangebracht die de opgewarmde lucht het apparaat uit blaast. Een evengrote volumestroom omgevingslucht ($T_0$ = 20 °C) komt continu door alle openingen het apparaat in. De lucht in het apparaat is goed gemengd.
a. Wat is het minimale volumedebiet van de ventilator?
Op een warme dag wordt door een storing in de luchtverversing van het gebouw $T_0$ in korte tijd 35 °C.
b. Wat wordt in dat geval $T$ na lange tijd, als het apparaat het niet begeeft door de warmte?
Op het moment dat de temperatuur in het apparaat 55 °C geworden is, wordt het warmte¬probleem gesignaleerd en het apparaat uitgeschakeld. De ventilator blijft aan.
c. Na hoeveel tijd is $T$ weer tot onder 45 °C gedaald?
 ⬇ hint (a & b)
Warmtebalans, stationair.
 ⬇ antwoord (a)
${dq}/{dt} = ρc_pΦ_v(T_0-T) + Φ_q = 0$ (stationair) ⇒ $Φ_v = -{Φ_q} / {ρc_p(T_0-T)}= - 100 / {1,2·1,0·10^3(20-45)}$ = 3,3·10-3 m³/s
 ⬇ antwoord (b)
dezelfde formule, dus $(T_0-T)$ is weer 25 °C ⇒ 60 °C
 ⬇ hint (c)
Warmtebalans, instationair, maar bronterm=0.
 ⬇ antwoord (c)
${dq}/{dt} = ρc_pV{dT}/{dt} = ρc_pΦ_v(T_0-T)$ ⇒ ${dT}/{T-T_0} = -{Φ_v}/Vdt ⇒ [ln(T-T_0)]_55^45 = -{Φ_v}/V[t]_0^{t_e}$
⇒ $ln(45-35) - ln(55-35) = -{3,3·10^{-3}}/{10·10^{-3}}(t_e-0) ⇒ ln({45-35}/{55-35}) = -{3,3·10^{-3}}/{10·10^{-3}}t_e$ ⇒ $t_e$ = 2,1 s

Tentamenvraagstukken

Aceton (1) - Computers - Vat - Wasbak

Transportvergelijkingen


Een transportvergelijking beschrijft de flux van een grootheid als functie van een gradiënt. Voor het transport van warmte ($q$), massa ($m$) en impuls ($p$) zijn de bijbehorende vergelijkingen respectievelijk (zie tabel 1 voor de namen van de constanten):

$$φ_{q,x} = -λ {dT}/{dx}$$ $$φ_{m,x} = -D {dC}/{dx}$$ $$φ_{p_z,x} = -µ {dv_z}/{dx}$$
Tabel 1. Namen van de evenredigheidsconstanten.

constante naam eenheid
$λ$ warmtegeleidingsscoëfficiënt W/(m·K)
$D$ diffusiecoëfficiënt m²/s
$µ$ viscositeit Pa·s

Flux, stroom, debiet


De flux is de hoeveelheid van een grootheid die ergens per seconde per vierkante meter stroomt (dimensie: [hoeveelheid]·[tijd]-1·[oppervlak]-1). Een voorbeeld is de warmteflux berekend met bovenstaande transportvergelijking, in W/m².

Willen we de stroom van een een grootheid door een bepaald oppervlak $A$ weten (dimensie: [hoeveelheid]·[tijd]-1), dan vermenigvuldigen we de flux met het oppervlak. In deze module gebruiken we $φ$ voor de flux van een grootheid en $Φ$ voor de stroom ervan door een bepaald oppervlak. Daarmee is meteen de relatie tussen flux en stroom duidelijk:

$$Φ = A·φ$$ Het volumedebiet (of kortweg debiet) is het totale volume dat per seconde stroomt (dimensie: [volume]·[tijd]-1). Een voorbeeld is het debiet door een waterleiding in m³/s.
De term massadebiet wordt wel gebruikt voor de totale massa die per seconde stroomt (dimensie: [massa]·[tijd]-1).

(Elders wordt flux ook wel gebruikt voor wat we hier stroom noemen, en fluxdichtheid voor wat hier flux heet. Let er in verschillende vakgebieden goed op wat er bedoeld wordt.)

Concentratiegradiënt


Transportvergelijkingen kunnen ook geschreven worden als de flux van een grootheid als functie van de concentratiegradiënt van diezelfde grootheid.

Voor het transport van warmte ($q$), massa ($m$) en impuls ($p$) zijn de bijbehorende vergelijkingen respectievelijk:

$$φ_{q,x} = -a {d(q/V)}/{dx}$$ $$φ_{m,x} = -D {d(m/V)}/{dx}$$ $$φ_{p_z,x} = -ν {d(p_z/V)}/{dx}$$ De evenredigheidsconstanten hebben allemaal de eenheid m²/s. Zie tabel 2 voor hun namen.

Tabel 2. Namen van de evenredigheidsconstanten met relatie tot andere constanten.

constante naam relatie met andere constante
$a$ temperatuursvereffeningscoëfficiënt $a = λ/{ρc_p}$
$D$ diffusiecoëfficiënt
$ν$ kinematische viscositeit $ν = µ/ρ$

Warmtetransport


Warmte kan op drie manieren getransporteerd worden:

geleiding: transport door een stilstaande stof;
convectie: transport door meevoering met een bewegende stof;
stralingw: transport waar geen stof bij nodig is - dit valt buiten de inhoud van deze module.

Geleiding


Wanneer een voorwerp aan één kant warmer is dan aan de andere kant, bewegen de moleculen in het warme deel sneller dan in het koudere deel. Door overdracht van kinetische energie bij botsingen wordt de energie (warmte) van de warme naar de koude kant getransporteerd. Als de warmte niet aangevuld wordt, koelt de warme kant af en warmt de koude kant op, totdat een homogene temperatuur bereikt is. Wordt de warmte wel aangevuld en blijft de koude kant koud (zoals bij een raam tussen een warme kamer en een koude winterlucht), dan zal er een continu warmtetransport door het voorwerp zijn.

De transportvergelijking voor warmte ($q$) luidt in dit geval (zie ook transportvergelijkingen):
$$φ_{q,x} = -λ {dT}/{dx}$$ Deze vergelijking wordt de wet van Fourier genoemd.
Hierin is $λ$ de warmtegeleidingscoëfficiënt.
Voor de totale warmtestroom door een oppervlak A geldt dan:
$$Φ_{q,x} = A·φ_{q,x} = -Aλ {dT}/{dx}$$
Als het binnenoppervlak van een raam dezelfde temperatuur zou hebben als de lucht in de kamer, en het buitenoppervlak de temperatuur van de buitenlucht, zou de warmtestroom alleen bepaald worden door het temperatuurverschil $ΔT=T_1-T_2$, de dikte van het glas $D$ en de warmtegeleidingscoëfficiënt $λ$ ervan. Zie figuur 2 (a) hieronder, waarin de temperatuur als functie van de plaats is getekend.

Figuur 2. Temperatuur rond een raam: $T_1$ en $T_2$ zijn de binnen- en de buitentemperatuur.
(a) met constante temperatuur aan de randen; (b) met warmteoverdrachtscoëfficiënt; (c) met hogere warmteoverdrachtscoëfficiënt.

Voor de warmteoverdracht geldt dan, absoluut gezien:
$$Φ_q = A·φ_{q,x} = Aλ {dT}/{dx} = Aλ {ΔT}/D$$

Convectie


In werkelijkheid zal de lucht aan de binnenkant van het raam wat afgekoeld worden (naar $T_A$) – zie figuur 2 (b) – en aan de buitenkant opgewarmd ($T_B$). Daardoor wordt de temperatuurgradiënt in het glas lager. Aan de binnenkant en aan de buitenkant is er een weerstand tegen warmteoverdracht bijgekomen, die wordt bepaald door de snelheid waarmee de warmte door de lucht wordt afgevoerd. Dit meevoeren van warmte door een fluïdum heet convectie.

De convectie wordt uitgedrukt door de warmteoverdrachtscoëfficiënt, $h$. Hoe groter de warmteoverdracht, des te hoger is zal $h$ zijn. Als bijvoorbeeld de wind sterker wordt, wordt $h_2$ hoger, en zal de $T_B$ dalen – zie tekening (c). Voor de luchtlaag aan de binnenkant geldt:
$$Φ_q = A·h_1·(T_1-T_A)$$ Aan de buitenkant geldt:
$$Φ_q = A·h_2·(T_B-T_2)$$ Bovendien weten we voor het glas:
$$Φ_q = Aλ/D (T_A-T_B)$$
Omdat de drie warmtestromen aan elkaar gelijk zijn (het is dezelfde warmte die van binnen naar buiten stroomt), kunnen we de vergelijkingen samenvoegen en omwerken tot de volgende vergelijking:
$$Φ_q = A·1/{1/h_1+D/λ+1/h_2}(T_1-T_2)$$ We kunnen nu een totale warmteoverdrachtscoëfficiënt $U$ invoeren, waarvoor geldt:
$$U = 1/{1/h_1+D/λ+1/h_2}$$ zodat:
$$Φ_q = A·U·ΔT$$ Zijn er meer lagen, zoals bij dubbel glas of een reactorvat met een isolatielaag om de vatwand, dan geldt algemeen:
$$U = 1/{∑↙i{1/h_i}+∑↙j{D_j/λ_j}$$
In een later college zullen we zien hoe we $h$ kunnen bepalen, maar we kunnen er al wel mee rekenen.

Vraagstukken


Isolatie

Een houten wand met een dikte van 1,0 cm en een warmtegeleidingscoëfficiënt van 0,2 W/(m·K) wordt voorzien van een isolatielaag (λ = 0,02 W/(m·K)) van 0,50 cm dik.
a. Hoeveel bedraagt de warmtestroom door de twee lagen als de temperatuur aan de buitenzijde van het hout 20 °C is en aan de buitenzijde van de isolatie 10 °C?
b. Hoe hoog is dan de temperatuur op de grens tussen hout en isolatie?
c. Als bekend is dat de warmteoverdrachtscoëfficiënt aan iedere zijde van de wand 10 W/(m²K) is, hoeveel bedraagt dan de warmtestroom door de lagen bij een totaal temperatuurverschil van 10 °C?
 ⬇ antwoord (a)
$1/U = x_1/λ_1 + x_2/λ_2 = {0,01}/{0,2} + {0,005}/{0,02} = 0,3$ ${\m^2\K}/\W ⇒ U = 3,33$ $\W/{\m^2\K} ⇒ φ_q = U·ΔT = 33$ $\W/\m^2$
 ⬇ antwoord (b)
Voor de houtlaag geldt: $ΔT = φ_qd/λ = {33,3}·{0,01}/{0,2} = 1,667$ $°\C ⇒ T_{tussen} = 20 - 1,667 = 18,3$ $°\C$
 ⬇ antwoord (c)
$1/U = x_1/λ_1 + x_2/λ_2 + 1/h+1/h = {0,01}/{0,2} + {0,005}/{0,02} + 1/{10} +1/{10} = 0,5$ ${\m^2\K}/\W ⇒ φ_q = U·ΔT = 20$ $\W/\m^2$

Collegezaal

In een collegezaal (volume 1,0·104 m³) bevinden zich duizend studenten. De temperatuur in de zaal wordt bepaald door:
• de warmte die door de aanwezigen wordt geproduceerd (100 W per persoon);
• de buitenlucht ($T_0$ = 16°C) die de zaal in wordt geblazen (10 m³/s);
• warmteverliezen door het glas van de ramen.
De ramen hebben een oppervlak van 100 m2, een dikte van 5,0 mm en een warmtegeleidingscoëfficiënt van 0,90 W/(m·K). Aan de binnen- en aan de buitenzijde is de warmteoverdrachtscoëfficiënt 10 W/m²K.
a. Wat is de totale warmteoverdrachtscoëfficiënt van de ramen?
b. Bepaal hoe hoog uiteindelijk (in de stationaire toestand) de temperatuur in de zaal wordt.
Op het moment dat de temperatuur in de zaal 23°C is, verlaat iedereen de zaal voor een pauze van 15 minuten.
c. Wat is de temperatuur in de zaal als de studenten weer terugkomen?
 ⬇ hint (a)
Met formule voor samenstellen van warmteweerstanden.
 ⬇ antwoord (a)
$1/U = d/λ + 1/h_{binnen} + 1/h_{buiten}$ ⇒ $U = 4,86$ $\W/(\m^2\K)$
 ⬇ hint (b)
Stationaire situatie: ${dq}/{dt} = 0$.
 ⬇ antwoord (b)
${dq}/{dt} = UA(T_0 - T) + ρc_pΦ_v(T_0 - T) + N·P$ = 0 (stationair) ⇒ $T_0 - T = -8$ $°\C ⇒ T = 24$ $°\C$
 ⬇ hint (c)
Oplossen van de DV.
 ⬇ antwoord (c)
${dq}/{dt} = ρc_pV{dT}/{dt} = UA(T_0 - T) + ρc_pΦ_v(T_0 - T) = (UA + ρc_pΦ_v) (T_0 - T)$ ⇒ ${dT}/{T_0 - T} = {UA + ρc_pΦ_v}/{ρc_pV} dt$
integreren: $T_{eind} = 18,7$ $°\C$

Tentamenvraagstukken

Deksel - Geleiding vs stroming - Glycerol (1)

Instationair warmtetransport


Als de omgevingstemperatuur van een voorwerp verandert, zal ook de temperatuur van het voorwerp gaan veranderen. Als je bijvoorbeeld een ei in kokend water legt, gaat de temperatuur in het ei stijgen. Maar hoe hoger de temperatuur in het ei wordt, des te lager wordt de warmtestroom, want het temperatuurverschil dat de warmteoverdracht veroorzaakt, wordt kleiner. Het warmtetransport is dus tijdsafhankelijk.

Eenzijdige opwarming: indringdiepte


Wanneer een voorwerp aan één kant in contact komt met een hogere temperatuur, zal warmte het voorwerp gaan indringen. In figuur 3 is het proces getekend: links staat de beginsituatie, met $T_1$ de begintemperatuur van het voorwerp en $T_2$ de temperatuur waarmee het in contact wordt gebracht. In de loop van de tijd (steeds latere tijden $t_1$, $t_2$ enz.) zal de temperatuur in het voorwerp oplopen (rechts).


Figuur 3. Indringing van warmte.

Het effect van de hogere temperatuur zal steeds dieper in het voorwerp merkbaar zijn. Als we een raaklijn tekenen langs de temperatuurkromme bij het oppervlak van het voorwerp, kunnen we bepalen waar deze de lijn van de begintemperatuur ($T_1$) snijdt - zie figuur 4.


Figuur 4. Indringdiepte.

De afstand van het oppervlak tot dit punt wordt steeds groter naarmate het voorwerp verder opwarmt. Deze afstand, de "indringdiepte", kunnen we gebruiken als een maat voor hoever de warmte is ingedrongen. De indringdiepte neemt als volgt toe met de tijd:
$$x_i = √{πat}$$
Hierin is $a$ de temperatuurvereffeningscoëfficiënt: $a = λ/{ρc_p}$.
Op de plaats van de indringdiepte is de temperatuur toegenomen met 21% van het temperatuurverschil $T_2-T_1$.

Klik hier voor een simulatiew van eenzijdige opwarming (klik op START).
Deze simulatie is geldig totdat de warmte de rechter rand bereikt.

Afkoeling


Als een voorwerp juist aan een koudere temperatuur $T_2$ wordt blootgesteld, stroomt de warmte het voorwerp uit. De grafieken zijn dan precies omgekeerd - zie figuur 5 en deze simulatiew.


Figuur 5. Eenzijdige afkoeling.

Opwarming of afkoeling rondom


Als een voorwerp aan alle kanten aan een andere temperatuur wordt blootgesteld, verandert de temperatuur aan alle kanten. Figuur 6 laat de opwarming zien van een plaat die in een omgeving komt met aan beide oppervlakken (links en rechts in de figuur) een hogere temperatuur.


Figuur 6. Warmte-indringing van twee kanten.

Figuur 6a laat de beginsituatie zien: de plaat heeft begintemperatuur $T_0$, de omgeving heeft temperatuur $T_1$. Figuur 6b toont de temperatuur op opeenvolgende tijdstippen in rood, groen en blauw. Op het moment van de blauwe kromme wordt het effect van de temperatuurstijging ook in het centrum van de plaat merkbaar. Daarna gaat ook de centrumtemperatuur $T_c$ stijgen. Dit is weergegeven in figuur 6c, met achtereenvolgende tijdstippen opnieuw in rood, groen en blauw.

Onderstaande simulaties laten zien dat de snelheid in het begin van het proces (figuur (b) hierboven) veel sneller gaat dan later (figuur (c) hierboven). Dit komt doordat de temperatuurgradiënt aan de rand steeds lager wordt, waardoor de warmtestroom steeds kleiner wordt.
Simulatie van tweezijdige opwarming van een vlakke plaatw (klik op START)
Simulatie van tweezijdige afkoeling van een vlakke plaatw (klik op START)

Grafische methode


De differentiaalvergelijking voor tijdsafhankelijk warmtetransport binnen voorwerpen, zoals de plaat in het voorbeeld, kan voor simpele geometrieën (bollen, cilinders e.d.) analytisch worden opgelost, maar dit is niet eenvoudig. Door gebruik te maken van dimensieloze groepen kan de oplossing echter voor zeer uiteenlopende situaties in grafieken weergegeven worden: TPDC-91+92.

Deze grafieken geven de centrumtemperatuur $T_c$ (TPDC-91) en de gemiddelde temperatuur $⟨T⟩$ (TPDC-92) (zie ook tekening (d) hierboven) als functie van de tijd.

In de grafieken is de tijd dimensieloos gemaakt met de temperatuurvereffeningscoëfficiënt en de karakteristieke afmeting van het voorwerp $d$. Het resultaat is het kental van Fourier, $Fo$:
$${Fo} = {at}/d^2$$ De temperatuur is dimensieloos gemaakt door het verschil tussen de temperatuur in het voorwerp ($T$) en dat van de omgeving ($T_1$) te delen door de waarde van dit temperatuurverschil aan het begin van het proces ($T_0-T_1$):
$$M = {T – T_1}/{T_0 – T_1}$$
Als we bijvoorbeeld een ei willen koken, moet de temperatuur overal in het ei een bepaalde tijd hoger zijn dan 68 °C, om de eiwitten te laten stollen. Nu zal de temperatuur in het centrum van het ei het laatst gaan stijgen. We moeten dus weten na hoelang die temperatuur 68 °C geworden is, want dan is de temperatuur in de rest van het ei zéker hoger. We kunnen dus invullen:

• $T_0$ = 20 °C (begintemperatuur van het ei)
• $T_1$ = 100 °C (temperatuur van het kokende water)
• $T$ = 68 °C (centrumtemperatuur waarvoor willen bepalen wanneer deze optreedt)

Er geldt nu dus: $M = {68-100}/{20-100} = 0,4$.

In de grafiek voor de centrumtemperatuur kunnen we nu aflezen bij welke waarde van $Fo$ deze waarde van $M$ optreedt, en daaruit kunnen we de tijdsduur berekenen. De grafieken bevatten geen eivormige voorwerpen, dus we zullen het moeten doen met een bol als modelvoorwerp. Eventueel kunnen we de berekening herhalen met een cilinder, om een idee te krijgen van het verschil.

Voorwaarde


De voorwaarde om de Fourier-grafiek te mogen toepassen, is dat de temperatuur op de rand van het voorwerp constant moet zijn. In het geval van het ei in het kokende water mogen we dat wel aannemen, want het borrelende water zorgt voor een goede warmteoverdracht.

Blokken en cilinders met H≠D


Voor combinaties van ruimtelijke begrenzingen geldt, dat $M_c$ gelijk is aan het product van de $M_c$’s die horen bij de verschillende ruimtelijke begrenzingen.

Een paar voorbeelden om de voorgaande cryptische zin te verduidelijken:
1. $M_c$ voor een blok met lengte $L$, breedte $B$ en hoogte $H$ is gelijk aan het product van de $M_c$’s voor drie vlakke platen, namelijk met diktes $L$, $B$ en $H$.
2. $M_c$ voor een cilinder met diameter $D$ en lengte $L$ wordt gevonden door $M_c$ voor een oneindig lange cilinder (met diameter $D$) te vermenigvuldigen met $M_c$ voor een vlakke plaat (met dikte $L$).
3. Voor een kubus (waarvan de lijn ook afzonderlijk in de centrum-grafiek gegeven is), zou $M_c$ dus ook berekend kunnen worden uit $M_{c,p}^3$, met $M_{c,p}$ gelijk aan $M_c$ voor een vlakke plaat met een dikte gelijk aan de ribbe van de kubus.

Op dezelfde manier kunnen gemiddelde temperaturen bepaald worden:
1. in een blok met afmetingen $L$, $B$ en $H$: $⟨M⟩_{blok}$ = $⟨M⟩_L⟨M⟩_B⟨M⟩_H$;
2. in een cilinder met afmetingen $D$ en $L$: $⟨M⟩_{cil} = ⟨M⟩_{cil,D}⟨M⟩_{plaat,L}$.

Isolatielaag


Met een trucje kunnen we de grafieken ook gebruiken voor doordringing in een laag die aan één zijde geïsoleerd is (zie figuur 7). In de bovenste figuur dringt warmte van links in, en is er aan de rechterkant een isolatielaag. Dan is de afgeleide van het temperatuurprofiel aan de rechterkant nul, want er is geen warmtetransport. In de onderste figuur is linkerhelft gelijk aan die in de bovenste figuur, en is de temperatuurgradiënt op dezelfde positie nul. Voor het warmtetransportproces in het linkerdeel maakt het dus niet uit welke van beide situaties er in werkelijkheid is. We kunnen de bovenste situatie dan ook modelleren zoals de onderste. (Let op: in dat geval moet voor de lengteschaal de nieuwe, dubbele dikte worden ingevuld.)


Figuur 7. Indringing met isolatielaag (boven): modelleren als dubbele laag met dubbelzijdige indringing (onder).

Vraagstukken

Asbest

"When John entered the empty room, he found a hot iron on an asbestos plate of 1 cm thickness. He lifted the plate which proved still to be cold on the underside. He decided that somebody had been in the room less than 5 minutes ago and ordered his men to search the apartment." [uit: Beek, Muttzall & van Heuven, Transport Phenomenaw]
Laat zien dat John gelijk heeft.
 ⬇ hint
De indringdiepte is de diepte waarop je de temperatuurverandering merkt. Als je nog niets merkt, zoals John, moet de indringdiepte dus kleiner zijn dan de dikte van het materiaal.
 ⬇ antwoord
$x_i = √{πat}$
$a = λ/{ρ·c_p}$ van asbest uit TPDC-117. Het maakt niet uit of je ‘sheet’ of ‘wool’ neemt, want daarvoor is λ/ρ gelijk.
Indringdiepte < 0,01 m levert: t < 76 s.

Spinazie

Conservenblikken met spinazie, met een begintemperatuur van 20 °C, worden in een autoclaaf met stoom van 120 °C gezet om de spinazie te steriliseren. De blikken hebben een diameter en een hoogte van 12 cm. Voor de blikinhoud geldt: $ρ$ = 1200 kg/m³; $λ$ = 0,70 W/m/K; $c_p$ = 4,0 kJ/kg/K. Verwaarloos de warmteweerstand in het metaal ‘blik’ zelf.
a. Schets de temperatuurverdeling in en om het blik op het moment dat de temperatuur in het midden van de blikinhoud net gaat stijgen.
b. Hoe lang moeten de blikken in de autoclaaf staan als alle spinazie een temperatuur van minimaal 110 °C moeten hebben gekregen?
(naar een opgave uit 200 vraagstukken FTw)
 ⬇ hint (b)
Álle spinazie: dan moet dus de temperatuur in het centrum 110 °C zijn - de rest is dan warmer.
Verwaarloos de weerstand in het ‘metaal blik’, dus doe alsof het systeem uit blikinhoud en stoom bestaat.
Verwaarloos ook de warmteweerstand in de stoom zelf, want dat hebben we nog niet gehad...
 ⬇ antwoord (b)
Met Fourier-grafiek: ${T_c - T_1}/{T_0 - T_1} = {110 - 120}/{20 - 120} = 0,10$.
Aflezen in Fourier-grafiek voor centrumtemperatuur: Fo = 0,09, waaruit volgt $t = 0,09·D^2/a = 0,09·{ρc_pD^2}/λ$ = 8900 s = 2,5 h.

Theeglas

In een theeglas, dat een begintemperatuur van 20 °C heeft, wordt thee van 80 °C geschonken. Het glas heeft een dikte van 3,0 mm en een temperatuursvereffeningscoëfficiënt ($a$) van 4,0·10-6 m²/s. Neem aan dat voor de beginperiode de lucht als een isolator mag worden beschouwd en de temperatuur van de thee niet daalt.
a. Na hoeveel tijd is de temperatuur van de buitenkant van het glas gestegen tot 75 °C? (Dit is de temperatuur die de huid nog net gedurende 4 seconden kan verdragen.)
b. Als de glas twee keer zo dik zou zijn, hoe verandert dan de tijd totdat de buitenkant een bepaalde temperatuur bereikt heeft?
 ⬇ hint (a)
Hier komen we niet ver met de indringdiepte (zoals bij Asbest), want er wordt echt om een temperatuurstijging gevraagd. Neem aan dat lucht goed isoleert (is best aannemelijk voor korte tijd), ‘verdubbel’ de dikte van het glas en gebruik de Fourier-grafiek voor het centrum van een vlakke plaat.
 ⬇ antwoord (a)
$(T_1 - T_c)/(T_1 - T_0) = 5 / 60$ = 0,08 ⇒ $Fo$ = 0,28 (grafiek voor centrumtemperatuur).
$Fo = {at} / d^2$ (dubbele dikte nemen!) ⇒ $t$ = 2,5 s.
 ⬇ antwoord (b)
Twee keer zo dik: $Fo$ blijft gelijk (want alle temperaturen zijn gelijk) en $a$ blijft gelijk ⇒ $t$ wordt vier keer zo lang.

Kubus

Een kubus (inhoud 1,0 liter) koelt af, waarbij de warmteweerstand geheel binnen de kubus ligt. Na een bepaalde tijd is het verschil tussen de temperatuur in het centrum van de kubus en die van de omgeving een factor 10 afgenomen. Als dezelfde hoeveelheid materiaal niet een kubus- maar een bolvorm had gehad, hoeveel langer (in %) zou de afkoeltijd dan geweest zijn?
 ⬇ antwoord
Kubus: M = 0,1 ⇒ Fo = 0,105 ⇒ $t_k = 0,105·D_k^2/a$
Als hetzelfde volume ($D_k^3$) een bolvorm zou hebben, geldt: $π/6D_b^3 = D_k^3$ ⇒ $D_b = D_k(6/π)^{1/3} = 1,2407 D_k$.
Bol: M = 0,1   ⇒ Fo = 0,075   ⇒ $t_b = {0,075·D_b^2}/a = {0,075·(1,2407 D_k)^2}/a$.
Dus: $t_b/t_k = {{0,075·(1,2407 D_k)^2}/a}/{{0,105·D_k^2}/a} = {0,075·1,2407^2}/{0,105} = 1,0995$
Bij de bol duurt het dus 10% langer dan bij de kubus.

Tentamenvraagstuk

Bolletje (a en b; c is voor later bij stoftransport) - Boom - Wand

Convectie van warmte


Convectie is transport doordat een fluïdum beweegt.
We kijken eerst naar convectie van warmte: de warmte wordt meegenomen door het fluïdum.
(Convectie van stof zal later aan de orde komen.)

Bij gedwongen convectie ligt de snelheid van het fluïdum vast. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de gasvlam onder de bodem van een ketel waarin water verhit wordt: de snelheid van het gas in de vlam bepaalt de snelheid van het warmteoverdrachtsproces.

Bij vrije convectie wordt de convectie bepaald door de overgedragen warmte. Een voorbeeld is de warmteoverdracht in het water boven de bodem van dezelfde ketel. Door het contact met het warme oppervlak krijgt het water een hogere temperatuur en daardoor een lagere dichtheid, waardoor dit water zal gaan stijgen. Daardoor wordt er nieuw, kouder water aangevoerd dat in contact komt met de bodem. De stroming wordt dus bepaald door de warmteoverdracht, en warmteoverdracht weer door de stroming.

 ⬇ animatie: Convectieprocessen bij het koken van water

De warmtestroom bij convectie wordt door deze vergelijking beschreven:

$$Φ_q = hAΔT$$
Waarin $h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt is (in $W/{m^2K}$), die mede door de stroming wordt bepaald.

Net als in het geval van instationair warmtetransport, zijn de differentiaalvergelijkingen lastig op te lossen, waardoor $h$ niet analytisch te bepalen is. In dit geval maken we gebruik van dimensieloze vergelijkingen voor het berekenen van $h$, die zelf voorkomt in het getal van Nusselt, dat de verhouding van convectieve warmteoverdracht en geleiding uitdrukt:

$$Nu = {hd}/λ$$
TPDC-75/77 geeft een aantal van deze vergelijkingen.

Gedwongen convectie


Bij gedwongen convectie wordt $Nu$ bepaald door twee dimensieloze getallen:
• het getal van Reynolds (verhouding traagheidskrachten en viskeuze krachten):
$$Re = {ρvd}/µ$$ • het getal van Prandtl (verhouding impulstransport en warmtetransport):
$$Pr = {c_pµ}/λ$$
Het overzicht van de vergelijkingen is te vinden in het pdf-document convectierelatiesw.

De vergelijkingen geven steeds $Nu$ als functie van $Re$ en $Pr$. Daarmee wordt de warmteoverdracht dus gekoppeld aan de stromingseigenschappen en de warmtetransportgrootheden, alles dimensieloos. De vergelijkingen hebben een beperkt toepassingsgebied wat de waarden van $Re$ en $Pr$ betreft - daar moet uiteraard op gecontroleerd worden.

De stofeigenschappen dienen genomen te worden bij de filmtemperatuur $T_f$: dit is het gemiddelde van de temperatuur van het object ($T_o$) en de temperatuur in het fluïdum op grote afstand ($T_∞$ ): $T_f = {T_o+T_∞}/2$.

Voor een vlakke plaat is op TPDC-75 de waarde van $Nu$ gegeven op een afstand $x$ vanaf het begin van de plaat ($Nu_x$). Vaak wil je echter weten hoeveel warmte er gemiddeld getransporteerd wordt vanaf het begin van de plaat tot een bepaalde plaats. Daarvoor moet je de gegeven formule integreren over de afstand van de rand tot de gegeven plaats. Dat levert op:
$$⟨Nu⟩_{plaat} = 2·Nu_x = 0,664 · Re^{1/2} · Pr^{1/3}$$

Vrije convectie


Bij vrije convectie wordt $Nu$ ook bepaald door twee dimensieloze getallen:
• het getal van Grashof (verhouding opwaartse kracht en viskeuze krachten):
$$Gr = {d^3gρ^2}/{µ^2}·{Δρ}/⟨ρ⟩$$ • het getal van Prandtl (zoals bij gedwongen convectie)

Bij het getal van Grashof is het even opletten welke dichtheden moeten worden ingevuld:
• $ρ$ is de dichtheid bij $T_f$
• $Δρ$ is het verschil tussen de dichtheid bij $T_o$ en die bij $T_∞$
• $⟨ρ⟩$ is het gemiddelde van de dichtheid bij $T_o$ en die bij $T_∞$

Naast de op TPDC-75/77 gegeven formules voor vrije convectie is ook die voor een bol nuttig:
$$⟨Nu⟩_{bol, vrij} = 2,0$$ Voor vrije convectie tussen twee horizontale vlakke platen in een stabiele situatie (koud onder, warm boven) geldt:
$$⟨Nu⟩_{platen, vrij, stabiel} = 1,0$$

⊕ Naamgevers


De kentallen zijn genoemd naar Wilhelm Nußeltw (1882-1957), Osbourne Reynoldsw (1842-1912), Ludwig Prandtlw (1875-1953) en Franz Grashofw (1826-1893).

Zie ook


Wet van Archimedesw

Vraagstukken

Verwarmingsbuis

Bepaal de warmteoverdracht door vrije convectie rond een horizontale centraleverwarmingsbuis.
 ⬇ hint
Hier moet je zelf schattingen maken, bijvoorbeeld voor de buisdiameter, het temperatuurverschil en zo.
 ⬇ antwoord
(De hier gebruikte geschatte waarden van de grootheden staan tussen [ ].)
Kies een wandtemperatuur [60°C] en bepaal met de kamertemperatuur [20°C] het gemiddelde [40°C]. Gebruik die temperaturen om de stofeigenschappen voor $Gr$ op te zoeken. Bereken $Gr$
[${0,02^3·9,81·1,2^2}/{(1,8·10^{-5})^2} · {0,145}/{1,1325}$ = 4,466·104]
en bereken met $Pr$=0,71 de waarde van $Gr·Pr$ [3,17·104]. Kies juiste $Nu$-relatie [$Nu=0,53(Gr·Pr)^{1/4}$] en bereken $Nu$ [7,07]. Bepaal $h = Nu·λ/d$ [9,5 W/(m²K)]. Bereken de warmtestroom per meter buis: $φ_q = π·d·h·ΔT$ = 24 W/m.

Soep

Bepaal de warmteoverdracht boven een lepel soep van 80°C...
a. ... als er geblazen wordt;
b. ... als er niet geblazen wordt.
 ⬇ hint (a & b)
Maak zelf schattingen voor niet-gegeven grootheden. Neem de stofeigenschappen bij de juiste temperatuur: ${T_H+T_L}/2$, behalve bij het dichtheidsverschil natuurlijk.
 ⬇ antwoord (a)
(De hier gekozen voorbeeldwaarden staan tussen [ ].)
Kies blaassnelheid [1 m/s] en bereken $Re$ [1,89·103] ⇒ $⟨Nu⟩= 0,664Re^{1/2}Pr^{1/3}$ = [25,8] en bepaal $h$ [1,3 W].
 ⬇ antwoord (b)
Nusseltrelatie nodig ⇒ eerst $Gr·Pr$ bepalen (temperaturen kiezen: soep [80 °C], lucht [20 °C]). In $Gr$ is $x$ de breedte van de lepel [3 cm] ⇒
$Gr = {0,03^3·9,81·1,2^2}/{(1,8·10^{-5})^2} · {1,2-1,0}/{1,1}$ = 2,18·105
⇒ $GrPr$ = 1,55·105 ⇒ $⟨Nu⟩= 0,54(Gr·Pr)^{1/4}$ = 10,7 ⇒ $h = Nu·λ/x$ = 9,99 W/(m²K) ⇒ $Φ_w = h·A·ΔT$ = 0,54 W.

Tentamenvraagstuk

Bol - Buizen - Cilinder - Knikker - Platen (1)

Warmtewisselaars


In een warmtewisselaar wordt warmte van het ene fluïdum naar het andere getransporteerd. In kerncentrales wordt bijvoorbeeld warmte uit water dat in de buurt van de reactor is geweest, overgedragen naar water in een secundaire kringloop, waarmee vervolgens op een veiliger manier elektriciteit wordt opgewekt. In de voedingsmiddelenindustie worden producten opgewarmd of afgekoeld in warmtewisselaars. En in energiezuinige woningen wordt de warmte uit het wegstromende douchewater gebruikt om het binnenkomende water voor te verwarmen.

Figuur 8 laat een eenvoudige versie van de warmtewisselaar zien. Er zijn nog vele andere varianten - klik hier voor wat voorbeeldenw.


Figuur 8. Eenvoudige warmtewisselaar. (bron: Wikimedia Commons)

Aan een warmtewisselaar kunnen we in het kader van deze module rekenen met behulp van een balansvergelijking en een transportvergelijking.

Balansvergelijking


Onderstaande tekening geeft een warmtewisselaar in tegenstroom (zie verderop) schematisch weer, met daaronder de temperaturen als functie van de plaats. Fluïdum 1 stroomt daarin van links naar rechts, fluïdum 2 stroomt van rechts naar links.


Figuur 9. Warmtewisselaar in tegenstroom.

Als deze warmtewisselaar in stationaire toestand werkt, is de warmte erbinnen constant. Dan geldt voor de warmtebalans dus:
$${dq}/{dt} = (φ_mc_p)_1(T_{1A} - T_{1B}) + (φ_mc_p)_2(T_{2B} - T_{2A}) = 0$$ Hierin geven subscripts "1" en "2" de verschillende fluïda aan, en "A" en "B" de beide uiteinden van de warmtewisselaar.

Transportvergelijking


De algemene vergelijking zou weer $φ_q = UA·ΔT$ kunnen zijn, maar er is een probleem: $ΔT$ is niet constant over de warmtewisselaar (zie de afbeeldingen). We moeten daarom eigenlijk de warmtestroom integreren tussen plaats A en plaats B. Die integratie valt buiten de inhoud van deze module, maar uiteraard hebben anderen het al gedaan, en kunnen we het resultaat gebruiken. De totale warmtestroom blijkt uit te drukken te zijn in het logaritmisch gemiddelde temperatuurverschil $ΔT_{lm}$, waarin "lm" staat voor "log mean":
$$ΔT_{lm} ={ΔT_A-ΔT_B}/{ln({ΔT_A}/{ΔT_B})}$$ Let er daarbij op dat "A" en "B" weer staan voor "uiteinde A" en "uiteinde B", niet voor de twee fluïda.
De warmtestroom is dan:
$$φ_q = UA·ΔT_{lm}$$

Meestroom, tegenstroom


Warmtewisselaars kunnen in mee- en in tegenstroom bedreven worden - zie figuren 10 en 11.


Figuur 10. Warmtewisselaar in tegenstroom. (bron: Wikimedia Commons)

Figuur 11. Warmtewisselaar in meestroom. (bron: Wikimedia Commons)

De vergelijkingen zijn voor beide gelijk, maar we moeten goed opletten naar welke locaties de temperaturen in de formules verwijzen.
Bij verder gelijke omstandigheden wordt in een warmtewisselaar in tegenstroom meer warmte overgedragen dan wanneer deze in meestroom gebruikt wordt.

Vraagstukken

Balans

Hoe verandert de balans als de warmtewisselaar in meestroom werkt?

Curven 1

Waardoor wordt bepaald of de temperaturen in de warmtewisselaar verlopen zoals links of zoals rechts?
 ⬇ antwoord
Op iedere plaats in de warmtewisselaar geldt, dat de warmte die wordt overgedragen zorgt voor temperatuurdaling in het ene fluïdum en temperatuurstijging in de andere. Dus over een klein stukje lengte $ΔL$ van het apparaat geldt: $(φ_mc_pΔT)_1 = (φ_mc_pΔT)_2$. De grootste temperatuurverandering treedt dus op bij het fluïdum waar $φ_mc_p$ het kleinst is. In de linker afbeelding heeft het naar rechts stromende fluïdum dus de laagste waarde van $φ_mc_p$; in de rechter afbeelding geldt dit voor het naar links stromende fluïdum.

Curven 2

Leg van de onderstaande temperatuurcurven uit waarom ze wel of niet mogelijk zijn, en zo ja, of het dan om tegen- of meestroom gaat, en wat je dan kunt zeggen over de fysische eigenschappen van de fluïda.
 ⬇ antwoord
Van links naar rechts:
niet mogelijk — zie bijvoorbeeld het fluïdum met de laagste temperatuur: de snelste temperatuurverandering treedt op waar het temperatuurverschil het kleinst is; dit is niet mogelijk;
mogelijk — snelste temperatuurverandering waar het temperatuurverschil het grootst is; meestroom, want als het tegenstroom was, zou één van de fluïda opwarmen dan wel afkoelen tegen het temperatuurverschil in;
niet mogelijk — de temperaturen kunnen elkaar niet kruisen, want dan zouden de temperaturen daarna tegen het temperatuurverschil in veranderen;
niet mogelijk — om dezelfde reden als bij het meest linkse diagram.

Olie

Olie met een $c_p$ van 2,0 kJ/kg/K stroomt door een tegenstroom-warmtewisselaar en wordt gekoeld van 394 K naar 339 K. Het debiet bedraagt 7,2 ton/uur. Het koelwater stijgt in temperatuur van 294 K naar 305 K. Het uitwisselend oppervlak A is 5,0 m². Hoeveel bedragen (a) het volumedebiet van het koelwater en (b) de totale warmteoverdrachtscoëfficiënt?
 ⬇ hint (a)
Dit volgt uit de warmtebalans.
 ⬇ antwoord (a)
Uit de balansvergelijking volgt dat $φ_mc_pΔT$ voor de olie is gelijk aan $φ_mc_pΔT$ voor het water ⇒ $φ_{m,w}$ = 17 ton/h.
 ⬇ hint (b)
Dit volgt uit de transportvergelijking, waarbij de overgedragen warmte ook gelijk moet zijn aan de warmte die de olie kwijtraakt, of het koelwater er bij krijgt.
 ⬇ antwoord (b)
Uit $φ_mc_pΔT = A·U·ΔT_{lm}$ en $ΔT_{lm}$ = (89-45)/ln(89/45) = 64,52°C volgt dan U = 0,69 kW/(m²K).

Koeling

Een reactiemengsel met een $c_p$ van 2,85 kJ/kg/K stroomt met een debiet van 2,0 kg/s en moet gekoeld worden van 105°C naar 70°C. Het beschikbare koelwater heeft een temperatuur van 15°C en een een debiet van 1,5 kg/s. De totale warmteoverdrachtscoëfficiënt U bedraagt 0,65 kW/(m²K).
Bepaal (a) de uitlaattemperatuur van het water en (b) het benodigde oppervlak A voor (1) tegenstroom en (2) meestroom.
 ⬇ hint
Uit de warmtebalans volgt de temperatuurverandering van het water. A volgt dan uit $φ_mc_pΔT = UA·ΔT_{lm}$.
 ⬇ antwoord (a)
$φ_mc_pΔT$ voor het mengsel is gelijk aan $φ_mc_pΔT$ voor het water ⇒ de temperatuurstijging voor het water is 32°C, zodat de eindtemperatuur 47°C bedraagt.
 ⬇ antwoord (b)
(1)$ΔT_{lm}$ is bij tegenstroom (58-55)/ln(58/55) = 56,5°C, zodat uit $φ_mc_pΔT = UA·ΔT_{lm}$ volgt A = 5,4 m².
(2) Bij meestroom geldt $ΔT_{lm}$ = (90-23)/ln(90/23) = 49,1°C, zodat A = 6,3 m². Het benodigde oppervlak is bij meestroom dus groter dan bij tegenstroom.

Tentamenvraagstuk

Glycerol (2) - Olijfolie - Warmtewisselaars - Water en stoom

Grensvlak


Als twee stoffen, A en B, met elkaar in contact zijn, en een derde stof, X, bevindt zich zowel in A als in B, dan zal X zich van de ene stof naar de andere bewegen totdat er een evenwicht optreedt. Maar in tegenstelling tot bij warmte, waar evenwicht betekent dat de temperatuur overal hetzelfde is, hoeft in dit geval in de evenwichtssituatie de concentratie van X in A ($C_A$) niet hetzelfde te zijn als de concentratie van X in B ($C_B$).

Een voorbeeld: water en lucht zijn met elkaar in contact, en in beide bevindt zich zuurstof. De zuurstofconcentratie in lucht is 0,278 kg/m³, maar in het water is deze, als er evenwicht is, slechts 0,0093 kg/m³. Ondanks het concentratieverschil van zuurstof tussen water en lucht, is er bij deze concentraties geen zuurstofstroom. (Er bewegen zich uiteraard wel zuurstofmoleculen van het water naar de lucht en omgekeerd, maar de netto stroom is nul.)

Dit verschijnsel, de mogelijkheid van een concentratieverschil zonder flux, is het belangrijkste verschil tussen stoftransport en warmtetransport. De differentiaalvergelijking die stoftransport beschrijft, heeft dezelfde vorm als die van warmtetransport, dus ook de oplossingen komen overeen. Dat zullen we hierna zien.

Verdelingscoëfficiënt


Stel dat een stof X zich in evenwicht in twee stoffen A en B bevindt, met concentratie $C_A$ hoger dan $C_B$, zoals in figuur 12a. Wordt $C_B$ nu hoger (12b), dan bevindt er zich dus eigenlijk teveel van X in B. X zal dan van B naar A gaan stromen (12c), dus schijnbaar "tegen het concentratieverschil in".

Maar als we weten dat in evenwicht geldt dat $C_B/C_A = 0,5$, dan kunnen we $C_A$ met deze waarde vermenigvuldigen om een plaatje te krijgen dat wel een continue concentratie laat zien (12d). Deze verhouding van concentraties in evenwicht heet de verdelingscoëfficiënt, $m$. Met deze coëfficiënt kunnen concentraties aan beide zijden van het grensvlak in elkaar omgerekend worden.


Figuur 12. Concentratie en verdelingscoëfficiënt.

Henry


Hoe bepalen we de verdelingscoëfficiënt? Het probleem is dat we hier steeds te maken hebben met een combinatie van drie stoffen. Voor veelvoorkomende combinaties zijn wel gegevens te vinden, maar er moeten maar net metingen gedaan én gepubliceerd zijn.

Voor de combinatie van een gas en een vloeistof (zoals in het voorbeeld van zuurstof hierboven) zijn heeft de Brit William Henryw (1774-1836) in 1803 de volgende wet vastgesteld (WP2014): "At a constant temperature, the amount of a given gas that dissolves in a given type and volume of liquid is directly proportional to the partial pressure of that gas in equilibrium with that liquid." Ofwel:
$$p = H·x$$ waarin
• p de partiële druk van de betreffende stof in de gasfase [Pa]
• x de molfractie van de stof in de vloeistof [mol/mol]
• H de constante van Henry [Pa]

TPDC-137 geeft voor de combinatie van water met tien gassen de constante van Henry bij verschillende temperaturen.

De partiële druk van een gas is de bijdrage van dat gas aan de totale druk. Volgens de ideale gaswet is de partiële druk gelijk aan de volumefractie van het gas in het totale mengsel, vermenigvuldigd met de totale druk. Voor zuurstof in lucht bij standaarddruk geldt dus bijvoorbeeld: $p_z$ = 0,2095·1,0·105 Pa.

Meestal hebben we of willen we de concentratie in de vloeistof niet in mol/mol maar in mol/m³ of kg/m³. Dan zullen we dus de omrekening van molx/molwater naar kg/m³ moeten uitvoeren.

De verdelingscoëfficiënt m van een gas x bij een water-lucht-grensvlak (in $({kg}_x/m^3)_L / ({kg}_x/m^3)_W$) kan van de constante van Henry worden afgeleid (met toepassing van pV=nRT):
$$m = 10^{-5}·H·(M_W/M_L)·(ρ_L/ρ_W) = 2,19·10^{-11}·p/T·H$$ waarin $p$ de druk is (in Pa) en $T$ de temperatuur (in K). Deze formule geldt voor concentraties van x waarvoor de dichtheid van het gas-lucht-mengsel niet significant van die van lucht afwijkt.

Aan het grensvlak met een zuivere stof is de concentratie in het aangrenzende medium gelijk aan de verzadigingsconcentratie van die zuivere stof in dat medium. Voor waterdamp in lucht direct boven een water- of ijsoppervlak is de partiële druk gelijk aan de dampspanning (TPDC-107-112).

Vraagstukken


Methaan

De onderste laag van de atmosfeer bevat 2,2·10-4 volumeprocent methaan.
Hoeveel bedraagt de methaanconcentratie in water die hiermee in evenwicht is (in kg/m³)?
 ⬇ antwoord
$H$ = 3,8 GPa (20°C) (een andere temperatuur mag uiteraard ook) ⇒ $x$ = 1·105·2,2·10-6/3,8·109 [volumeprocent!] = 5,790·10-11 mol/mol;
$M_{CH_4}$/$M_{H_2O}$ = 16/18 ⇒ $C$ = 5,790·10-11·16/18 = 5,147·10-11 kg/kg ⇒ $C_e$ = 5,1·10-8 kg/m³
(ter vergelijking: 2,2·10-6 m³/m³ komt, met $ρ_{CH_4}$ = 0,657 kg/m³, overeen met 1,45·10-6 kg/m³)

Massatransport (diffusie en convectie)


Zoals er bij warmte sprake is van transport dóór een stof heen (geleiding) en met een stof mee (convectie) is er bij massa (stof, materie) sprake van diffusie (door een andere stof heen bewegend) en convectie (met een andere stof meegevoerd).

Diffusie

Wanneer een stof zich in een andere stof bevindt, zoals zuurstof die is opgelost in water, of methaan in lucht, kan deze door de omringende stof heen bewegen. Deze beweging heet diffusie. Is er dan een concentratieverschil, dan zal de stof door dit proces van de hoge naar de lage concentratie stromen.

De transportvergelijking voor massa ($m$) luidt (zie transportvergelijkingen):
$$φ_{m,x} = -D {dC}/{dx}$$ Hierin is $D$ de diffusiecoëfficiënt (eenheid: m²/s).

De diffusiecoëfficiënt is een stofeigenschap van een combinatie van twee stoffen, waarbij één van de stoffen in relatief lage concentratie in de ander voorkomt. In gassen verloopt het diffusieproces veel sneller dan in vloeistoffen, en daarin weer sneller dan in vaste stoffen. Er zijn combinaties van stoffen waarvan de diffusiecoëfficiënt voor alle praktische toepassingen gelijk is aan nul. Een aantal waarden voor $D$ zijn te vinden op TPDC-135/136.

Bij diffusie "stroomt" massa van een plaats met een hoge concentratie naar een plaats met een lage concentratie. Dat gaat eigenlijk "vanzelf", door de willekeurige bewegingen van de moleculen. Hieronder staat een simulatie van diffusie, waarin de moleculen willekeurig bewegen, waardoor de stof over het hele volume verdeeld wordt.

Klik hier voor een simulatie van diffusie.w

Als er een concentratieverschil $ΔC$ optreedt over een afstand d, leidt dit, analoog aan het geval van warmte tot een stofstroom:
$$Φ_m = A·φ_{m,x} = AD {dC}/{dx} = AD {ΔC}/d$$

Convectie


Bij stroming langs een wand zal er stof meegevoerd kunnen worden door convectie. Ook hier lijken de formules op die van warmteoverdracht:

$$Φ_m = A·k·(C_1-C_2) = A k ΔC$$
We zullen later zien hoe we $k$ kunnen berekenen.

Zowel bij diffusie als bij convectie moeten we er goed op letten dat we de concentratieverschillen nemen in de stof waarin we het transport bekijken. Voor diffusie van geurstof uit een bolletje is dat het concentratieverschil binnen het bolletje voor de diffusie, maar het concetratieverschil in de lucht voor de convectie door de lucht.

⊕ Hierdoor wordt het lastig om met een totale stofoverdrachtscoëfficiënt te werken, zoals de totale warmteoverdrachtscoëfficiënt $U$ bij warmte. Het is te doen, maar we moeten rekening houden met de verdelingscoëfficiënt bij het grensvlak. Dit valt buiten de inhoud van deze module.

Vraagstukken

Zuurstof

Aan één uiteinde van een buisje dat met water gevuld is, bedraagt de zuurstofconcentratie in het water 15·10-4 mol/L, aan het andere uiteinde 5,0·10-4 mol/L. Het buisje heeft een lengte van 3,0 cm en een diameter van 3,0 mm. Hoeveel bedraagt de totale zuurstofstroom door het water in het buisje?
 ⬇ antwoord
1 mol/L = 1000 mol/m³ ⇒ $φ_m = -D {dC}/{dx}$ = 2,33·10-9 (1,0/0,03) = 7,77·10-8 mol/(m²s)
⇒ $Φ_m = φ_m·A = φ_m·π/4D^2$ = 5,5·10-13 mol/s.

Koolstofdioxide

Een horizontaal buisje met een lengte van 5,0 cm en een diameter van 2,0 mm is gevuld met water. Aan één uiteinde bevindt het zich in zuiver kooldioxide. Langs het andere uiteinde stroomt continu zuivere stikstof. Hoeveel CO2 diffundeert per seconde door het buisje?
 ⬇ hint
Reken de koolstofdioxideconcentratie aan het einde dat zich in kooldioxide bevindt uit met de wet van Henry (zoals eerder besproken). Aan de andere zijde is de concentratie nul, want alle koolstofdioxide wordt direct door de stikstof afgevoerd.
 ⬇ antwoord
Voor koolstofdioxide geldt $H$ = 14,8·107 Pa ⇒ $x$ = 1·105/14,8·107 = 6,76·10-4 mol/mol ⇒ 0,038 mol/kg ⇒ 38 mol/m³. De diffusiecoëfficiënt $D$ van koolstofdioxide in water is 1,60·10-9 m²/s. Dus $φ_m = - D {C_1}/L$ = 1,216·10-6 mol/m²s. $Φ_m$ bedraagt dus 3,8·10-12 mol/s ($A$ = 3,14·10-6 m²).

Tank

Op de bodem van een tank ligt een laag zout van 100 kg. Het grondoppervlak van de tank is 0,50 m². Op de zoutlaag staat een laag water van 1,0 m. De verzadigingsconcentratie van het zout in water is 300 kg/m³. Er wordt geroerd, waardoor de stofoverdrachtscoëfficiënt op het water-zout-grensvlak gelijk is aan 1,0·10-3 m/s. Hoe lang duurt het voordat al het zout is opgelost?
(naar een opgave uit 200 vraagstukken FTw)
 ⬇ hint
De essentie van de opgave is een massabalans over het zout in het water.
 ⬇ antwoord
Massabalans: ${dm}/{dt} = V{dC}/{dt} = k·A·ΔC$. Scheiden van variabelen: ${dC}/{C-C*} = -{kA}/Vdt$.
Uitwerken van de integraal levert: $C = C*·(1 - e^{-{kA}/Vt})$. Alles is opgelost als $C = m / V = 100 / {1·0,5}$ = 200 kg/m³ ⇒ $t$ = 18 min.

Tentamenvraagstukken

Diffusie vs stroming - Kristallen - Helium - Stikstof

Massabalans


Voor de massa $m$ in een afgebakend volume geldt:
$${dm}/{dt} = Φ_{m, in} - Φ_{m, uit} + P_m$$ De termen $Φ_{m, in}$ en $Φ_{m, uit}$ staan voor het stoftransport, respectievelijk het volume in en uit.

De term $P_m$ is de mogelijke productie van massa in het volume. Massa kan niet uit niets ontstaan (behalve onder bijzondere omstandigheden, volgens $E = mc^2$). Wanneer de balans wordt opgesteld over de totale massa, is $P_m$ dus nul. Maar de balans kan ook worden opgesteld voor een bepaalde stof, bijvoorbeeld "suiker in een plant", en dan heeft deze stof wel een productieterm.

Het linkerlid van de vergelijking kunnen we op verschillende manieren herschijven, afhankelijk van hoe de concentratie is gedefinieerd:
• als de concentratie $C$ gegeven is per volume-eenheid (dus in kg/m³): ${dm}/{dt} = {d(CV)}/{dt}$;
• als de concentratie $C$ gegeven is per massa-eenheid (kg/kg): ${dm}/{dt} = {d(CM)}/{dt}$,
waarin $m$ staat voor de massa van de stof waarin we geïnteresseerd zijn, en $M$ voor de totale massa in het volume.

Om dezelfde reden moeten we de massastroom $Φ_m$ op verschillende manieren bepalen:
• als de concentratie $C$ gegeven is per volume-eenheid: $Φ_m = Φ_vC$;
• als de concentratie $C$ gegeven is per massa-eenheid: $Φ_m = Φ_MC$.

Verblijftijd


De gemiddelde verblijftijd van een stof in een ruimte bedraagt:
$$τ=V/Φ_v$$

Vraagstukken

Alcohol

Een goed geroerd voorraadvat bevat 10 ton water met een alcoholfractie van 5,0% op massabasis. Vanaf t = 0 stroomt een constante hoeveelheid van 50 kg/s schoon water het vat in, en stroomt op een ander punt 50 kg/s vatinhoud weg. De totale inhoud van het vat blijft 10 ton. Bereken de tijd die verstrijkt voordat de alcohol-concentratie gedaald is tot 1,0%(m).
 ⬇ hint
De massa alcohol is het volume keer de alcoholconcentratie.
 ⬇ antwoord
${dm_a}/{dt} = {d(M·C)}/{dt} = Φ_MC_{in} - Φ_MC$
$C_{in} = 0$ ⇒ ${d(M·C)}/{dt} = -Φ_MC$ ⇒ $∫{dC}/C = -∫Φ_M/Mdt$ ⇒ $[\l\n(C)]_{0,05}^{0,01} = -Φ_M/M [t]_0^{t_e}$ ⇒ $t_e$ = 3,2·102 s = 5,4 min

Natronloog

Natronloog met een natriumhydroxideconcentratie $C_0$ stroomt met een volumedebiet $Φ_v$ door een perfect geroerd vat dat een volume V heeft. De toestand is stationair, dus de NaOH-concentratie in het vat is ook gelijk aan $C_0$. Vanaf tijdstip t = 0 wordt, naast de eerste stroom, een tweede stroom door het vat geleid met een debiet gelijk aan 0,50·$Φ_v$ en een NaOH-concentratie 2,0·$C_0$. Gedurende het hele proces blijft het vat geheel gevuld.
a. Stel een massabalans op voor het natriumhydroxide in het vat.
b. Bepaal het verloop van de NaOH-concentratie in het vat als functie van de tijd. Vermeld de gebruikte randvoorwaarde(n).
c. Hoe groot wordt de NaOH-concentratie in het vat na lange tijd?
 ⬇ antwoord (a)
${dm}/{dt} = C_0Φ_v + 2C_0·1/2Φ_v - C·3/2Φ_v$
 ⬇ antwoord (b)
$m = C·V$ ⇒ $V{dC}/{dt} = (2C_0 - 3/2C)Φ_v$
scheiden van variabelen en uitwerken: $C = C_0 (4/3 - 1/3exp(-3/2{Φ_vt}/V))$
 ⬇ hint (c)
“Na lange tijd” houdt in: in stationaire toestand.
 ⬇ antwoord (c)
lange tijden: $t → ∞$ ⇒ $C → 4/3C_0$

Zout

Een vat bevat 500 kg zoutoplossing met een zoutconcentratie van 10%. Vanaf t = 0 stroomt een 20%-zoutoplossing het vat binnen met een massadebiet van 10 kg/h, en verlaat 5,0 kg/h vatinhoud het vat. Het vat is goed geroerd.
a. Stel de massabalans op voor het zout in het vat.
b. Hoe verandert de zoutconcentratie van het vat als functie van de tijd?
 ⬇ antwoord (a)
${d(MC)}/{dt} = 2 - 5C$
 ⬇ hint (b)
Schrijf $M$ als functie van de tijd en gebruik de productregel: ${d(MC)}/{dt} = M{dC}/{dt} + C{dM}/{dt}$.
 ⬇ antwoord (b)
$M = 500 + 5t$
Productregel: ${d(MC)}/{dt} = M{dC}/{dt} + C{dM}/{dt} = (500 + 5t){dC}/{dt} + C(5)$
⇒ $(500 + 5t){dC}/{dt} + C(5) = 2 - 5C$ ⇒ ${dC}/{2 - 10C} = {dt}/{500 + 5t}$
Integreren: $-1/{10} [ln(2-10C)]_{0,1}^C = 1/5 [ln(500+5t)]_0^t$
⇒ $ln({2-10C}/{2-1}) = -2 ln({500+5t}/{500})=ln({500+5t}/{500})^{-2}=ln({500}/{500+5t})^{2}=ln({100}/{100+t})^{2}$
⇒ $2-10C = ({100}/{100+t})^2$
⇒ $C = -0,1({100}/{100+t})^2 + 0,2$

Tentamenvraagstukken

Eencelligen - Spoelen - X

Instationair stoftransport


De differentiaalvergelijkingen (balansvergelijking, transportvergelijking) die gelden voor instationair stoftransport lijken heel erg op die voor instationair warmtetransport. Het is dan ook niet gek dat de oplossingen ervan voor veel situaties ook heel erg op die voor warmtetransport lijken.

Het enige waar we goed op moeten letten, zijn de randvoorwaarden die we gebruiken. Bij warmtetransport is de grootheid die we gebruiken continu in de plaats: de functie vertoont geen sprongen. We hebben gezien dat dit bij stofoverdracht anders is.

In figuur 13 zien we wat dat betekent: de concentratie van stof X is links van het grensvlak (in stof A) niet gelijk aan rechts van het grensvlak (in stof B). Wanneer in evenwicht geldt dat de concentratie van stof X in stof B m (de verdelingsconstante) keer de concentratie in stof A is, wordt de concentratie in stof B op de grens met stof A gelijk aan $mC_2$ als de concentratie erbuiten $C_2$ is.

Zoals bij opwarming, kunnen we hier spreken van een indringdiepte, waarbij de diffusiecoëfficiënt D de plaats van de warmtevereffeningscoëfficiënt a inneemt:
$$x_i = √{πDt}$$

Figuur 13. Indringdiepte.

Figuur 14 laat diffusie van beide kanten zien. Hiervoor kunnen we dezelfde figuren gebruiken als opwarming (of afkoeling) van twee kanten: de Fourier-grafieken op TPDC-91+92, met:
$${Fo} = {Dt}/d^2$$ $$M = {C – C_1}/{C_0 – C_1}$$
Daarbij moeten we, zoals al gezegd, goed opletten dat we voor de concentratie aan de rand de concentratie binnen het voorwerp nemen.


Figuur 14. Indringing van stof van twee kanten.

De simulaties van eenzijdige indringingw, tweezijdige indringingw en tweezijdig wegstromenw die bij instationaire warmteoverdracht stonden, kunnen dus ook gebruikt worden om het diffusieproces te illustreren.

Opmerking 1: De verdelingscoëfficiënt m kan ook andersom gedefinieerd zijn (namelijk als de concentratie buiten het voorwerp gedeeld door die binnen het voorwerp in evenwicht). In dat geval moet uiteraard juist door m gedeeld worden om de concentratie aan de binnenkant te krijgen.

Opmerking 2: Een bijzonder geval is het als we mogen aannemen dat de concentratie buiten het voorwerp verwaarloosbaar klein is. In dat geval is de concentratie binnen het voorwerp natuurlijk ook nul, onafhankelijk van de waarde van m.

Opmerking 3: Analoog aan de situatie bij warmteoverdracht is de voorwaarde om de Fourier-grafiek te mogen toepassen dat de concentratie op de rand van het voorwerp constant moet zijn.

Vraagstukken

Cilinder

Een lange kunststof cilinder (diameter $d$ = 1,0 cm) bevat een weekmaker die in de kunststof een diffusiecoëfficiënt $D$ van 0,20·10-9 m²/s heeft. De uniforme beginconcentratie van de weekmaker is $C_0$. De cilinder staat in een oplosmiddel waarin de concentratie van de weekmaker verwaarloosbaar is.
a. Na hoelang is de gemiddelde concentratie van de weekmaker in de cilinder 0,10·$C_0$?
b. Wat is op dat moment de concentratie op de as van de cilinder, uitgedrukt in $C_0$?
 ⬇ hint (a)
Fouriergrafiek toepassen. Concentratie buiten is nul, dus evenwichtsconcentratie binnen is ook nul.
 ⬇ antwoord (a)
$⟨M⟩ = {0 - 0,1C_0} / {0 - C_0} = 0,1$ ⇒ $Fo = 0,085$ ⇒ $t = 0,085 d^2/D$ = 4,25·104 s = 12 uur.
 ⬇ antwoord (b)
$Fo$ nog steeds 0,085 ⇒ $M_c$ = 0,2 ⇒ $C_c = 0,2C_0$.

Gips

Op een laagje gips (calciumsulfaat) in een bakje wordt een laagje schoon water gegoten van 5,0 cm diep. De verzadigingsconcentratie van het gips in water is 2,4 kg/m³. Hoelang duurt het, voordat aan het wateroppervlak de concentratie 2,0 kg/m³ is?
 ⬇ hint
Modelleer het laagje water (waarin éénzijdige diffusie optreedt met isolatie aan de bovenkant) als een twee keer zo dikke laag (met tweezijdige diffusie) en gebruik de Fourier-grafiek voor centrumconcentratie. Schat de diffusiecoëfficiënt op basis van die van $\C\a^{2+}$ en $\S\O_4^{2-}$.
 ⬇ antwoord
De diffusiecoëfficiënt van de calcium- en de sulfaationen in water bedraagt ongeveer 1,0·10-9 m²/s (0,8·10-9 m²/s voor $\C\a^{2+}$ en 1,1·10-9 m²/s voor $\S\O_4^{2-}$ ⇒ “gemiddeld” 1,0·10-9 m²/s).
$M_c = {C_1 - C} / {C_1 - C_0} = {2,4 - 2,0} / {2,4 - 0} = 0,17$ ⇒ $Fo$ = 0,2. Met de geschatte $D$ en $x$ = 0,1 m (twéé keer de laagdikte!) volgt $t$ = 2·106 s = 23 dagen.

Regendruppel

Een vallende regendruppel (diameter $d$ = 2,0 mm) bevat op tijdstip t = 0 geen stikstofoxide, maar valt daarna door lucht die wel stikstofoxide bevat. De N2O-concentratie in het water aan het oppervlak wordt daardoor 1,0 g/L.
a. Na hoeveel tijd is de N2O-concentratie in het centrum van de druppel gestegen tot 0,9 g/L, als we aannemen dat de weerstand tegen stofoverdracht geheel in de druppel ligt?
b. Hoeveel stikstofoxide is er op dat moment in de druppel aanwezig?
c. Als de druppel een diameter van 1,0 mm gehad zou hebben, hoeveel stikstofoxide zou er op dat moment in de druppel aanwezig zijn op het moment dat de concentratie in het middelpunt 0,9 g/L bedraagt?
 ⬇ antwoord (a)
$M_c = {1 - 0,9} / {1 - 0} = 0,1$ ⇒ $Fo$ = 0,075 ⇒ $t$ = 142,9 s = 2,4 min.
 ⬇ hint (b)
Gebruik de gemiddelde concentratie.
 ⬇ antwoord (b)
$Fo$ = 0,075 ⇒ $⟨M⟩$ = 3·10-2 ⇒ $⟨C⟩$ = 0,97 g/L. Met $V = π/6 d^3$: $m = ⟨C⟩·V$ = 4,0·10-9 kg.
 ⬇ antwoord (c)
Zelfde $Fo$ ⇒ zelfde $⟨C⟩$. Vanwege $d^3$-verhouding: een achtste van de hoeveelheid stof (en dit duurt ook veel korter, natuurlijk).

Viltstifttekst

Op een skippybal is een tekst aangebracht met viltstift. De lijnbreedte is direct na het aanbrengen 1,0 mm. Na een jaar blijkt de lijn vager te zijn geworden en ongeveer twee keer zo breed. Maak een schatting van de diffusiecoëfficiënt van de inkt in het plastic van de bal.
 ⬇ hint
Indringdiepte: aan iedere kant 0,5 mm.
 ⬇ antwoord
$x_i = √{π·D·t}$ ⇒ met 0,5 mm en gegeven $t$: $D$ = 2,5·10-15 = 3·10-15 m²/s

Tentamenvraagstukken

Benzeen (1) - Druppel - Ethyn, a.k.a. acetyleen - Microcapsules - N2 & O2 (1) - Solvine

Convectie van massa


Convectie van massa is het transport van materie doordat een fluïdum beweegt: de stof wordt meegenomen door het fluïdum.

Bij gedwongen convectie ligt de snelheid van het fluïdum vast. Dit is bijvoorbeeld het geval bij het oplossen van een suikerklontje op de bodem van een kopje thee waarin geroerd wordt: de snelheid van het lepeltje bepaalt de snelheid van de stromende thee, en deze bepaalt weer de snelheid van het oplossen.

Bij vrije convectie wordt de convectie bepaald door de overgedragen materie. Een voorbeeld is het oplossen van een suikerklontje dat net onder het oppervlak van een kopje stilstaande thee gehouden wordt. Door het oplossen van een beetje suiker krijgt de thee vlak onder het klontje een hogere dichtheid, waardoor deze thee naar beneden zal zakken. Daardoor wordt er nieuwe thee aangevoerd waarin de suiker weer kan oplossen. De stroming wordt dus bepaald door het oplossen, en het oplossen weer door de stroming.

De behandeling van convectie van massa lijkt sterk op die van warmte, die we eerder zijn tegengekomen.

De plaats die Nu en Pr hadden bij convectie van warmte, wordt nu ingenomen door respectievelijk:
• het getal van Sherwood (verhouding convectie en diffusie):
$$Sh = {kd}/D$$ • het getal van Schmidt (stofeigenschappen):
$$Sc = {µ}/{ρD}$$
Tabel 3 geeft de relatie tussen convectie van warmte en die van massa weer.

Tabel 3. Relatie tussen convectie van warmte en convectie van massa.

grootheid gedwongen convectie vrije convectie
warmte Nu = f (Re, Pr) Nu = f (Gr, Pr)
massa Sh = f (Re, Sc) Sh = f (Gr, Sc)

Het overzicht van de vergelijkingen is weer te vinden in het pdf-document convectierelatiesw.

Zie ook


Wet van Archimedesw

Vraagstukken

Maanbasis

Een suikerklontje dat in een glas water hangt, lost in twee uur op door vrije convectie. Maak een beredeneerde schatting van hoe lang dit proces ongeveer zou duren wanneer dit in een maanbasis zou worden uitgevoerd (onder overigens gelijke condities als temperatuur, druk, enz.).
 ⬇ antwoord
Het enige verschil is de waarde van $g$ ($g_{maan} ≈ 1/6 g_{aarde}$), die in $Gr$ voorkomt. De waarde van $⟨Sh⟩$, die de stofoverdracht bepaalt, is (afhankelijk van $Gr·Sc$) evenredig met $Gr^{1/3}$ of $Gr^{1/4}$ (TPDC-77). Daardoor is de stofoverdracht op de maan $(1/6)^{1/3}$ tot $(1/6)^{1/4}$, dus 0,55 tot 0,64 keer die op aarde. Dat betekent een oplostijd van respectievelijk 2/0,55 = 3,6 uur en 2/0,64 = 3,1 uur.
(In het dictaat staan nog andere evenredigheden - daar mag uiteraard ook naar verwezen worden.)

Zoutblok

Een blok keukenzout van 500 g (lengte 20 cm, breedte 10 cm) ligt in een stroming van zoet water. De verzadigingsconcentratie van zout in water is 359 kg/m³. Hoelang duurt het voordat het blok is opgelost? (Beschouw alleen het oplossen aan de bovenkant.)
 ⬇ hint
Kies of je de lengte dan wel de breedte in de stromingsrichting wilt hebben liggen. Kijk tot welke $Re$ de Sherwoodrelatie geldig is en kies op basis daarvan een stroomsnelheid.
 ⬇ antwoord
Voorbeeld: stroming over de breedte van het blok ⇒ $L$ = 0,10 m. De Sherwood-relatie (gedwongen convectie) is dan geldig voor $Re$ < 3·105 ⇒ tot 1·106·$v·L$ < 3·105. Maximale snelheid dus 3 m/s. Kies $v$ = 1 m/s. $Sc$ is dan 588 (kies voor D het gemiddelde van Na+ en Cl-) ⇒ $k$ = 2,99·10-5 m/s.
$φ_m = k·ΔC$ = 2,99·10-5·359 = 1,07·10-2 kg/m²s. $Φ_m$ is dus 2,15·10-4 kg/s. Voor 0,5 kg: 2330 s = 0,65 h.

Belletje

Een belletje kooldioxide (diameter 1,0 mm) stijgt op in schoon water met een stijgsnelheid van 20 cm/s. De oplosbaarheid van CO2 in water is 4,0·10-2 mol/L. Hoeveel bedraagt de stofstroom?
 ⬇ hint
Sherwoodrelatie voor gedwongen convectie.
 ⬇ antwoord
$Re$ = 200, $Sc$ = 625 ⇒ Sherwood-relatie mag worden toegepast: $Sh$ = 2,0 + 79,8 = 81,8 ⇒ $k$ = 1,309·10-4 m/s. $Φ_m = A·k·ΔC$ = 1,6·10-8 mol/s.

Tentamenvraagstukken

Benzeen (2) - Diffonal™ - Klontje - N2 & O2 (2) - Zoet

Numerieke methoden


In deze module maken we vooral gebruik van methoden die ontwikkeld zijn vóór de opkomst van de computer in dit vakgebied. Met deze methoden kunnen we voor veel situaties realistische berekeningen uitvoeren, en ze geven ook inzicht in en gevoel voor de processen die optreden.

Wanneer de systemen complexer worden, gelden de voorwaarden waaronder deze methoden mogen worden toegepast meestal niet meer. Sinds de komst van de computer zijn op alle deelgebieden van het vakgebied de toepassingsmogelijkheden en het inzicht in de processen enorm toegenomen.

We zullen hier twee eenvoudige voorbeelden bekijken van hoe de modelvergelijkingen kunnen worden vertaald naar een numeriek model.

Vallend voorwerp


Met de theorie van deze module kunnen we de kracht berekenen op een voorwerp dat zich met een bepaalde snelheid door een fluïdum beweegt, of de eindsnelheid van een voorwerp dat door een fluïdum valt. Maar hoe snel bereikt zo'n voorwerp die eindsnelheid? Als we dat willen weten, moeten we een dynamisch model maken, waarin de wrijvingskracht op het voorwerp snelheids-, en dus tijdsafhankelijk is.

Voor de totale kracht $F_{tot}$ op zo'n voorwerp geldt op ieder moment:

$$F_{tot} = F_g + F_A + F_d$$
waarin $F_g$ de zwaartekracht is (= $-m·g$), $F_A$ de Archimedeskrachtw, en $F_d$ de weerstandskracht. Daarnaast weten we dat deze totale kracht evenredig is met de versnelling van het voorwerp:

$$F_{tot} = m·a$$
Zo kunnen we op ieder moment de versnelling bepalen - mits we de weerstandscoëfficiënt weten, natuurlijk, en daarover hebben we tot nu toe alleen informatie in de vorm van een tabel of grafiek in TPDC. Met een relatie in formulevorm kunnen we een numeriek model opstellen. Voor bollen zijn veel formules afgeleid, maar onderstaande formule geeft een redelijke benadering (-4 tot +6%) en is niet al te onhandelbaar (Clift et al., 1978):

$$C_d = {24}/{Re} + {3,6}/{Re^{0,313}}+{0,42}/{1+42500Re^{-1,16}}$$
Bovenstaande formules kunnen we gebruiken in de volgende differentievergelijkingen:

$${∆v}/{∆t} = {F_{tot}/m}$$ $${∆s}/{∆t} = ∆v$$
Wanneer een voorwerp door een vloeistof valt (of erin opstijgt), moet ook een deel van de vloeistof verplaatst en dus versneld worden, waardoor de versnelling bij dezelfde kracht lager is. Voor een bol geldt dan dat voor het berekenen van de versnelling een virtuele massa gebruikt moet worden (zie ook Wikipediaw):

$$m_{virt} = ρ_{bol}·V + ρ_{fluïdum}·V/2$$
Het is dus eigenlijk alsof een volume van het fluïdum gelijk aan de helft van het volume van de bol mee-versneld moet worden.

Opwarming van een plaat


Wanneer een vlakke plaat aan veranderende temperaturen aan de beide oppervlakken wordt blootgesteld, gaat er warmte stromen. Voor symmetrische situaties (aan beide oppervlakken verandert de temperatuur evenveel) kunnen we inmiddels berekenen hoe de doorwarming verloopt. Als de temperaturen niet symmetrisch verandert, of als de randtemperaturen tijdens het doorwarmingsproces blijven veranderen, kunnen we dat met onze methode niet aan. Dat gaan we hier numeriek benaderen.

We delen de plaat in dunne plakjes met dikte dx, parallel aan de twee oppervlakken (zie figuur 15).


Figuur 15. Numerieke modellering van geleiding.

We gaan er voor de balansvergelijking van uit dat de temperatuur binnen een plakje overal gelijk is. Voor het i-de plakje geldt dan:

$${dq}/{dt} = ρc_pV{dT}/{dt} = ρc_pdx·HB{dT}/{dt} = ∑Φ_q= -λHB({dT}/{dx})_L+λHB({dT}/{dx})_R$$
waarin $H$ de hoogte van de plaat en $B$ de breedte (loodrecht op de tekening) ervan voorstellen, en de subscripts $L$ en $R$ respectievelijk "links" en "rechts". Van deze vergelijking kunnen we de volgende differentievergelijking maken, als we aannemen dat het transport bepaald wordt door het temperatuurverschil tussen de plakjes, werkend over de afstand Δx:

$$ρc_pΔx{ΔT}/{Δt} = -λ{T_{i}-T_{i-1}}/{Δx}+λ{T_{i+1}-T_i}/{Δx} = λ{T_{i-1}-2T_i+T_{i+1}}/{Δx}$$
(in deze vergelijking is meteen HB weggedeeld).
Voor de temperatuurverandering ΔT in een tijdstap Δt krijgen we dus:

$$ΔT = {λ/{ρc_p}} · {T_{i-1}-2T_i+T_{i+1}}/{Δx}^2Δt$$ Deze methode heet de Forward Time, Centered Space (FTCS) methode.
De simulatie waarvan je al eerder voorbeelden zag (bij instationair warmte- en stoftransport), is gemaakt op basis van bovenstaande formule. In de simulatie (klik hierw) kun je de temperaturen links en rechts én in het midden tijdens de simulatie aanpassen, zodat je het effect meteen kunt zien.

In numerieke simulaties mag de tijdstap niet te groot zijn. De numerieke oplossing van de simulatie hierboven is alleen stabiel als

$${λ}/{ρc_p}Δt < 1/2{Δx}^2$$ Wat er dan gebeurt als dit niet het geval is, kun je hierw zien. Dit betekent, dat we bij dunnere plakjes (dus voor een in de plaats nauwkeuriger simulatie) de tijdstap kleiner moet maken.

⊕ FTCS?


De FTCS-methode heet zo omdat er gebruik wordt gemaakt van de voorwaartse Euler-methode in de tijd, en van de centrale-differentie-methode in de plaats.

Vraagstukken


Raam

Een kamer waar het 15,0 °C is, heeft een raam met een dikte van 7,0 mm. Buiten is het 10,0 °C. We nemen aan dat de temperatuur van het glas aan beide zijden steeds gelijk is aan de luchttemperatuur daar.
a. Hoeveel bedraagt de temperatuur in het midden van het glas?
De temperatuur in de kamer wordt in korte tijd opgestookt tot 20 °C, waardoor het glas gaat opwarmen. Op een bepaald moment is de temperatuur in het midden van het glas 13,1 °C geworden. De temperaturen op 1,0 mm afstand van het midden zijn 14,4 °C (aan de kamerzijde) en 12,1 °C. Het glas heeft een temperatuurvereffeningscoëfficiënt van 5,0·10-7 m²/s.
b. Hoe groot mag de tijdstap maximaal zijn als we met deze gegevens volgens bovenstaande methode de temperatuur op de volgende tijdstap willen berekenen?
c. Hoeveel bedraagt de temperatuur in het centrum volgens deze methode na 1,0 s?
 ⬇ antwoord (a)
12,5 °C
 ⬇ hint (b)
Bedenk dat $a={λ}/{ρc_p}$.
 ⬇ antwoord (b)
$aΔt < 1/2{Δx}^2$ ⇒ $Δt_{max} = 1/2{Δx}^2/a = 1/2{0,001}^2/{5,0·10^{-7}}$ = 1,0 s
 ⬇ antwoord (c)
$ΔT = a{T_{i-1}-2T_i+T_{i+1}}/{Δx}^2Δt = 5,0·10^{-7} {14,4-2·13,1+12,1}/{0,001}^2·1,0 = 0,15$ $°C$ ⇒ $T_{nieuw} = 13,25$ $°C$

Mechanische-energiebalans


Over een systeem waardoor een fluïdum stroomt, kunnen we een balans opstellen voor de mechanische energie:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2v_1^2 + gz_1 + p_1/ρ) - Φ_m(1/2v_2^2 + gz_2 + p_2/ρ) + Φ_w - Φ_f$$ waarin:
• $Φ_m(1/2v_1^2 + gz_1 + p_1/ρ)$ de instromende mechanische energie (resp. kinetische energie, zwaarte-energie, energie ten gevolge van druk)
• $Φ_m(1/2v_2^2 + gz_2 + p_2/ρ)$ de uitstromende mechanische energie
• $Φ_w$ de op het systeem verrichte arbeid (dan wel de door het systeem verrichte arbeid: de term is dan negatief)
• $Φ_f$ de mechanische energie die door wrijving verloren gaat in de vorm van warmte

Is de toestand stationair, dan geldt natuurlijk weer ${dE_m}/{dt} =0$.

De vergelijking kan worden omgeschreven tot:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$
We zullen eerst systemen bekijken waarin geen arbeid op of door het systeem wordt verricht (dus $Φ_w$ = 0) en de wrijving verwaarloosbaar is (dus $Φ_f$ = 0).

Daarna zullen we arbeid en wrijving toevoegen.

De wet van Bernoulli


De complete mechanische-energiebalans luidt:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$ In veel systemen geldt:
• er is geen uitwisseling van arbeid met de omgeving, dus $Φ_w$ = 0;
• de wrijving is verwaarloosbaar, dus $Φ_f$ = 0.
In dat geval kan de mechanische-energiebalans voor stationaire situaties dus vereenvoudigd worden tot:
$$1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ =0$$ Het principe achter deze vergelijking werd door Daniël Bernoulli in 1738 geformuleerd in zijn boek Hydrodynamica, en staat bekend als de wet van Bernoulli.
De keuze van de posities 1 en 2, waartussen de vergelijking toegepast gaat worden toegepast, is van groot belang.

De vergelijking geldt in het algemeen langs een hele stroomlijn: de lijn die gevormd wordt als je met een deeltje in de stroming meereist. Omdat bovenstaande vergelijking tussen alle punten op de stroomlijn moet gelden, kunnen we ook schrijven:
$$1/2v^2 + gz + p/ρ = constant$$
Met deze vergelijking kunnen we bijvoorbeeld uitrekenen met welke snelheid een vloeistof uit een vat stroomt. Zie hiervoor het vraagstuk Wijnvat. Daarbij moeten we er nog wel rekening mee houden dat een vloeistof die uit een gat spuit, nog wat verder samentrekt (zie figuur 16). Dit verschijnsel heet vena contracta (letterlijk "samengetrokken ader") - zie figuur 17.


Figuur 16. Contractie in een vloeistofstraal.

Figuur 17. Vena contracta. (bron: Wikimedia Commons)

Voor hoge stroomsnelheden uit openingen met scherpe randen kan voor de oppervlakteverhouding van de kleinste doorsnede en de doorsnede van de opening de waarde 0,62 genomen worden:
$$A_{vc}/A_o = 0,62$$ De druk in de vloeistof is pas gelijk aan de omgevingsdruk op de plaats waar de kleinste doorsnede bereikt wordt.

⊕ Daniël Bernoulli

Daniël Bernoulli werd in februari 1700 geboren in Groningen en overleed in 1782 in Basel.
Behalve met vloeistofmechanica heeft hij zich beziggehouden met o.a. astronomie en fysica.
Zijn naam wordt uitgesproken als "ber-noe-lie" (dus niet als "ber-noe-jie", wat vaak gedacht wordt).

Vraagstukken

Wijnvat

Een wijnvat stroomt leeg door een gaatje van 1,0 cm diameter. Het gaatje bevindt zich 70 cm onder het beginniveau van de wijn. Het wijnvat kan worden opgevat als een cilinder die op de platte kant staat. De diameter van het vat is 80 cm.
a. Met welk volumedebiet stroomt de wijn in het begin?
b. Hoe lang duurt het voordat alle wijn boven het gaatje uit het vat is gestroomd?
 ⬇ hint (b)
De wijnhoogte - en dus de uitstroomsnelheid - is tijdsafhankelijk, dus gebruik een massabalans.
 ⬇ antwoord (a)
$1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ =0$
Kies 1 aan het oppervlak, 2 in de uitstroomopening. Dan geldt $v_1$ = 0, $z_1-z_2=H$, $p_1=p_2$ ⇒ $v_2 = √{2gH}$.
In het begin: $H$ = 70 cm ⇒ $v_2$ = 3,74 m/s ⇒ met oppervlak van opening: $Φ_v$ = 0,29 L/s.
Als voor de contractiefactor 0,62 genomen wordt, volgt dus: $Φ_v$ = 0,62·0,29 = 0,18 L/s.
 ⬇ antwoord (b)
${dm}/{dt} = -Φ_m$ ⇒ ${d(π/4D^2H·ρ)}/{dt} = -Φ_v·ρ = -π/4d^2√{2gH}·ρ$ (met $D$ diameter vat en $d$ diameter opening).
Dus: $H^{-½}dH = -(d^2/D^2)(2g)^{½}dt$.
Integreren: $H$ tussen $H_0$ en 0 en $t$ tussen 0 en $t_{eind}$ levert $t_e = (D^2/d^2)({2H_0}/g)^{½}$ = 2418 s = 40 min.
Als de contractie meegenomen wordt, is de uitstroom de hele tijd 0,62 keer de hier gebruikte waarde, en wordt de tijdsduur dus 40/0,62 = 65 min.
In hoeverre een gat in een wijnvat een scherpe rand zal hebben, is een kwestie van inschatten.

Boomstam

Op de bodem van een beek ligt een boomstam (diameter 25 cm) overdwars. De beek heeft een diepte van 1,0 m en een stroomsnelheid (praktisch vlak snelheidsprofiel) van 1,0 m/s.
a. Ga ervan uit dat het wateroppervlak geheel vlak is. Welke stroomsnelheid heeft het water dan bij punt 2, midden boven de boomstam?
Als nog steeds wordt aangenomen dat het wateroppervlak geheel vlak is, heerst er in het water aan het oppervlak bij punt 2 een andere druk dan elders in de beek (bij 1).
b. Wat is het drukverschil tussen punt 1 en punt 2?
Door het drukverschil zal het wateroppervlak van plaats veranderen tot de drukken weer gelijk zijn.
c. Wat is het hoogteverschil tussen het oppervlak bij punt 1 en punt 2? Waar staat het water het hoogst?
d. Is de aanname van een vlak wateroppervlak voor de berekening van de snelheid boven de boomstam gerechtvaardigd?
 ⬇ antwoord (a)
Doorstroomde oppervlak is bij 2 kleiner dan bij 1 ⇒ $v_2 = v_1·(H_1/H_2)$ = 1,33 m/s.
 ⬇ antwoord (b)
$1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ = 1/2(v_1^2-v_2^2) + 0 + {p_1-p_2}/ρ = 0 ⇒ p_1 - p_2$ = –3,8·102 Pa.
 ⬇ antwoord (c)
Nu is $p_1=p_2$ ⇒ $z_1-z_2$ = 3,8 cm.
 ⬇ antwoord (d)
3,8 cm t.o.v. 75 cm is 5% ⇒ niet geheel juist, maar redelijke aanname.

Rondvaartboot

Een Delftse gracht is op een bepaalde plaats 4,0 m breed ($B_g$) en 1,4 m diep ($D_g$). Een rondvaartboot, die een diepgang $D_b$ heeft van 1,0 m en een breedte $B_b$ van 2,9 m, vaart hierin met een snelheid $v_b$ van 5,0 km/u. We modelleren de rondvaartboot als een rechthoekig blok.
a. Laat zien dat voor de watersnelheid $v_w$ langs de boot naar achteren geldt: $v_w = {v_bB_bD_b} / {B_gD_g – B_bD_b}$.
b. Hoeveel verandert de hoogte van de waterspiegel terwijl de boot langsvaart? Is dat omhoog, of omlaag?
 ⬇ antwoord (a)
Per seconde moet een volume water $V=v_vB_bD_b$ door een oppervlak $A=A_{gracht}-A_{boot}=B_gD_g – B_bD_b$ naar achteren stromen. Dit gaat dus met een snelheid $v_w = {v_bB_bD_b} / {B_gD_g – B_bD_b}$.
 ⬇ antwoord (b)
$v_w={(5,0/3,6)·2,9·1,0}/{4,0·1,4-2,9·1,0}$ = 1,49 m/s
Een volumetje water aan het oppervlak staat eerst stil en krijgt dan deze snelheid, terwijl de druk contant blijft (atmosferische druk), dus:
$1/2(0^2-v_2^2)+g(0-z_2)+0/ρ=0$ ⇒ $z_2=-{v_2^2}/{2g}$ = -0,113 m = -11 cm (negatief ⇒ omlaag).

Tentamenvraagstukken

Boeing - Drinkwater - Piramidebak

Windenergie


Kijk voor dit onderwerp uiteraard terug naar de eerstejaarsmodulew.

Een windturbine haalt energie uit de stromende wind. Als we naar de mechanische-energiebalans kijken,
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$ dan zien we dat daar enkele termen gelijk zijn aan nul. Want als we langs een stroomlijn met de lucht meereizen, geldt:
• de druk ver vóór de windturbine is gelijk aan de druk ver achter de windturbine ($p_1 = p_2 = p_0$);
• de hoogte van de stroomlijnen gemiddeld is vóór de turbine gelijk aan erachter ($z_1 - z_2$ ≈ 0);
• er is nauwelijks wrijving ($Φ_f$ = 0).
Bovendien is de toestand stationair, dus $dE_m$/$dt$ = 0.
We houden dus over:
$$0 = Φ_m1/2(v_1^2-v_2^2) + Φ_w$$ Het vermogen aan mechanische energie dat uit de wind gehaald wordt, $P_m = -Φ_w$, moet dus geheel uit een snelheidsverlaging van de lucht komen:
$$P_m = Φ_m1/2(v_1^2-v_2^2)=Aρ1/2(v_1+v_2)1/2(v_1^2-v_2^2)$$ waarin $A$ het oppervlak is dat door de rotorbladen wordt bestreken. Dit kunnen we omwerken naar:
$$P_m = 1/4Aρv_3^3\{{1-({v_2}/{v_1})^2+{v_2}/{v_1}-({v_2}/{v_1})^3}\}$$ De term binnen accolades heeft een maximum bij $x={v_2}/{v_1}=1/3$, zoals we kunnen vaststellen op basis van de afgeleide, en ook te zien is in figuur 18.

Figuur 18. Relatieve opbrengst windturbine als functie van ${v_2}/{v_1}$. (bron: Wikimedia Commons)
Daarmee kunnen we het theoretisch maximaal te behalen vermogen vaststellen:
$$P_{th} = {16}/{27}·1/2·ρ·v_1^3A$$ ofwel 16/27 ≈ 0,593 van het vermogen aan kinetische energie van de wind die door het oppervlak A stroomt (dit is de wet van Betzw).
Voor een werkelijke situatie kunnen we schrijven:
$$P = 1/2 C_pρv_w^3A$$ waarin $C_p$ de prestatiecoëfficiënt is (die dus maximaal 0,593 kan bedragen), en A het door de turbinebladen bestreken oppervlak ($πr^2$ voor bladen met lengte $r$). De prestatiecoëfficiënt is eigenlijk ook nog afhankelijk van de windsnelheid, maar dit valt buiten de inhoud van deze module.

Weibull-verdeling


Het is een open deur om te zeggen dat het niet altijd even hard waait. Om een windmolen te ontwerpen, zullen we meer moeten weten over hoe vaak het hard genoeg (én niet te hard) waait. Deze kansdichtheidsverdeling van de windsnelheid blijkt voor veel locaties de vorm te hebben van de Weibull-verdelingw uit de kansrekening. In figuur 19 staan metingen met een daarbij aansluitende Weibull-kromme (in rood):


Figuur 19. Gemeten windsnelheidsverdeling en Weibull-kromme. (bron: Wikimedia Commons)

Uit de grafiek kunnen we zien dat de vaakst voorkomende wind een lagere snelheid heeft dan de gemiddelde windsnelheid. Ook zien we dat de grafiek aan de rechterkant een staart heeft met extreme windsnelheden.

(De ook in figuur 19 getekende normale verdeling (in blauw) heeft niet zoveel zin: nemen we die als modelkromme, dan kunnen we negatieve windsnelheden verwachten.)

Een windturbine heeft een minimale windsnelheid ($v_{min}$) nodig om rendabel te kunnen draaien. Bij lagere windsnelheden zijn de kosten van slijtage hoger dan de opbrengsten van de windenergie. Bij hogere windsnelheden neemt het vermogen dat uit de wind gehaald kan worden toe met de derde macht van de windsnelheid, zoals we zagen. Bij een bepaalde windsnelheid levert de turbine het maximale vermogen. Wordt de windsnelheid nog hoger, dan zal ervoor gezorgd worden dat het vermogen niet verder oploopt, om beschadiging te voorkomen. Dit kan bijvoorbeeld door de molen enigszins uit de wind te draaien, of door de rotorbladen wat te kantelen. Boven een windsnelheid $v_{max}$ is het gevaar voor beschadiging te groot, en wordt de molen uit bedrijf genomen. De totale opbrengstcurve ziet er alles bij elkaar uit zoals in figuur 20.


Figuur 20. Het vermogen van een windturbine (in rood) en een Weibull-kromme (blauw) als functie van de windsnelheid.

Figuur 21 laat zien dat het, doordat de energie evenredig is met de derde macht van de snelheid, gunstiger is om een windturbine te ontwerpen voor de "staart" van de Weibull-kromme dan voor de meest voorkomende windsnelheden.


Figuur 21. Weibull-kromme (rood) en energieopbrengst (blauw). (bron: Wikimedia Commons)

Capaciteitsfactor


Een windturbine draait, zoals uit figuur 20 blijkt, lang niet altijd op vol vermogen. De in werkelijkheid opgewekte energie per jaar gedeeld door wat het maximale vermogen in een jaar opgeleverd zou hebben, wordt de capaciteitsfactor genoemd:
$$C = {E_{jaar}}/{P_{max}t_{jaar}}$$ Turbines op het land hebben doorgaans een capaciteitsfactor van 20 à 25%, maar op zee kan de factor, door de veel constantere wind, oplopen tot zo'n 35 tot 40%. De capaciteitsfactor van een te installeren turbine kan van tevoren geschat worden door de Weibull-curve van de locatie te vermenigvuldigen met de vermogenskarakteristiek van de turbine.

Windmolenparken


In windmolenparken beïnvloeden de turbines het rendement van de benedenwindse turbines. De turbulentie in de lucht wordt sterker en de gemiddelde snelheid neemt af, zoals boven besproken. Deze interactie tussen turbines valt buiten de inhoud van deze module.

Typen windturbines


Naast de meest bekende windturbine, met een horizontale as, zijn er nog andere typen. Zie bijvoorbeeld onderstaande animaties.

 ⬇ Drie hoofdtypen windturbine
 ⬇ Getordeerde Savoniusrotor
 ⬇ cartoon (xkcd.com)

Vraagstukken

Capaciteitsfactor

Onderstaande figuur geeft de gemeten windsnelheidsverdeling van een locatie waar een windturbine gepland is.
Kies realistische waarden voor de lengte van de rotorbladen, de prestatiecoëfficiënt, $v_{min}$ en $v_{max}$ en het maximale vermogen, en maak een schatting van de capaciteitsfactor die de windturbine dan heeft.

Leidingsystemen: de frictiefactor


In een leidingensysteem bevinden zich allerlei onderdelen die wrijving met zich meebrengen: de wanden van de leidingen, bochten, afsluiters, enz.
In de mechanische-energiebalans:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ - e_f) + Φ_w$$ vinden we dit verlies door wrijving terug in de term $e_f$: de dissipatie per massaeenheid (in J/kg).

Voor rechte leidingen geldt:
$$e_f = 4f1/2v^2L/D$$ waarin
• $f$ de frictiefactor
• $v$ de gemiddelde snelheid in de leiding
• $L$ de lengte van de leiding
• $D$ de diameter van de leiding
De frictiefactor $f$ is een functie van het Reynoldsgetal. Hiervoor is een grafiek beschikbaar: TPDC-84. Daarin is te zien dat voor laminaire stroming de weerstand heel anders verloopt dan in het turbulente gebied. In het overgangsgebied tussen deze twee regimes is het niet zeker in welke toestand de stroming zich zal bevinden: dat hangt af van de precieze condities in de leiding en de voorgeschiedenis van de vloeistof.

In het turbulente gebied is de frictiefactor ook afhankelijk van de relatieve ruwheid: dat is de wandruwheid $ε$ van de buis gedeeld door de buisdiameter $d$. Zie tabel 4 voor voorbeelden van wandruwheden.

Tabel 4. Enkele voorbeelden van (absolute) ruwheden.

materiaal ruwheid (m)
staal, smeedijzer 4,6·10-5
gegalvaniseerd ijzer 1,5·10-4
gietijzer 2,6·10-4
beton 3·10-4 tot 3·10-3

Als er meerdere leidingen in een systeem zitten, kunnen we hun afzonderlijke waarden van $e_f$ bij elkaar optellen:
$$e_{f, leidingen} = ∑↙i{(4f1/2v^2L/D)_i}$$
Door de plaatsen waartussen de mechanische-energiebalans wordt opgesteld slim te kiezen, kunnen verschillende eigenschappen van het systeem bepaald worden. Stel dat we een leiding hebben met aan het begin een pomp, zoals in figuur 22.

Figuur 22. Pomp in leiding.
Kiezen we de plaatsen 1 en 3 voor de balans, dan bevindt de pomp zich in het systeem, waardoor we $Φ_w$ in de vergelijking krijgen. Het drukverschil ($p_1-p_3$) is dan gelijk aan nul. Omdat ook $v_1$ gelijk is aan $v_3$ en $z_1$ aan $z_3$, kunnen we het benodigde vermogen $Φ_w$ bepalen als we de stofeigenschappen en de stroomsnelheid weten.
Maar kiezen we de plaatsen 2 en 3, dan bevindt de pomp zich buiten het systeem. Er is dan geen term $Φ_w$. Het drukverschil $p_2-p_3$ staat dan echter wél in de vergelijking. Zo kunnen we bepalen welke druk de pomp moet leveren om het fluïdum te verpompen.

Wat moeten we doen als v niet bekend is?


In de praktijk komen we tegen dat er wel een drukverschil over een leiding bekend is, maar de stroomsnelheid nog niet. We kunnen dan dus geen waarde van $f$ bepalen en daardoor $v$ niet berekenen. We zouden weer kunnen itereren, zoals bij de stationaire eindsnelheid van een vallend voorwerp: een waarde voor $v$ schatten, $f$ bepalen, enz.

Maar het blijkt mogelijk om een vergelijking op te stellen om $v$ te bepalen.
Voor een horizontale rechte kale leiding geldt:
$$Δp = 4f·1/2 ρ v^2L/D$$ (leid dit zelf af).
Deze vergelijking kunnen we, door het inschuiven van variabelen aan beide kanten en wat te knutselen, omschrijven tot:
$$f/2{ρ^2v^2D^2}/μ^2={ρD^3}/{4μ^2}{Δp}/L$$ ofwel:
$$f/2\ Re^2={ρD^3}/{4μ^2}{Δp}/L$$ Nu staan alle bekenden rechts, en kunnen we $1/2f\ Re^2$ uitrekenen. Omdat $f$ een functie is van $Re$ (en van de wandruwheid) kunnen we nu $Re$ bepalen uit de figuur op TPDC-85, zodat we de snelheid van het fluïdum kunnen berekenen.

Vraagstukken

Melk

Door een horizontale leiding in een melkfabriek stroomt volle melk, 5,0 liter per seconde. De leiding heeft een gladde binnenkant, een inwendige diameter van 5,0 cm en een lengte van 40 m.
a. Welk elektrisch vermogen $P$ moet de pomp hebben, als deze een rendement van 80% heeft?
b. Welke druk moet de pomp leveren?
 ⬇ antwoord (a)
${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$
Situatie zoals in figuur 22, posities 1 en 3 ⇒ $v_1=v_2$, $z_1=z_2$, $p_1=p_2$ ⇒ $0 = Φ_m(0 + 0 + 0) + Φ_w - Φ_f$ ⇒ $Φ_w = Φ_f$
⇒ $Φ_w = Φ_m4f1/2v^2L/D$
$ρ$ = 1030 kg/m³, $μ$ = 2,12 mPa·s, $v$ = 2,547 m/s ⇒ $Re$ = 6,186·104 ⇒ $f$ = 0,005 (uit grafiek)
⇒ $Φ_w$ = 267 W ⇒ $P$ = 0,33 kW.
 ⬇ hint (b)
Leid af dat geldt (situatie zoals in figuur 22, posities 2 en 3): $Δp = 4f·1/2 ρ v^2L/D$.
 ⬇ antwoord (b)
$Δp = 4f·1/2 ρ v^2L/D$ = 52 kPa.

Ketel

In een ketel bevindt zich een waterige vloeistof onder een druk van 250 kPa. Aan de ketel is een leiding verbonden met een inwendige diameter van 2,0 cm, een lengte van 3,0 m en een ruwheid van 0,010 cm. Door een fout komt de leiding in open verbinding met de lucht te staan. Met welk volumedebiet ontsnapt de vloeistof uit de ketel?
 ⬇ hint
Snelheid niet bekend, Δp wel, dus gebruik de figuur van $Re$ als functie van $1/2 f Re^2$.
 ⬇ antwoord
$1/2 f Re^2 = {Δp ρ D^3}/{4μ^2L}$ = 1·108.
Met relatieve ruwheid 0,01/2,0 = 0,005: Re ongeveer 2·105 ⇒ $v$ = 10 m/s ⇒ $Φ_v$ = 3,1 L/s.

Leidingsystemen: het weerstandsgetal


We weten nu hoe we de frictiefactor van een rechte buis moeten bepalen. Maar in een leidingenstelsen bevinden zich ook bochten, afsluiters, vernauwingen e.d. die voor extra energieverlies zorgen. In dit geval kunnen we schrijven:
$$e_f = K_w 1/2v^2$$ waarin $K_w$ het weerstandsgetal is en $v$ de benedenstroomse snelheid (dus ná de appendage).

In TPDC-82 staan voorbeeldwaarden voor $K_w$.


Net als bij de frictiefactor kunnen de afzonderlijke bijdragen van de appendages bij elkaar opgeteld worden:
$$e_{f, appendages} = ∑↙i{(K_w 1/2v^2)_i}$$ We kunnen deze twee bijdragen dan ook op deze manier combineren:
$$e_{f, totaal} = ∑↙i{(4f1/2v^2L/D)_i} + ∑↙j{(K_w 1/2v^2)_j}$$

⊕ De frictiefactor als weerstandsgetal

Als we voor een leiding definiëren: $K_w = 4f L/D$, kan de wrijving verder gegeneraliseerd worden tot:
$$e_{f, totaal} = ∑↙i{(K_w 1/2v^2)_i}$$

Vraagstukken

Waterleiding

Een docent is aan het klussen in de keuken en breekt per ongeluk een waterleidingbuis, waarop een overdruk van 14 m waterkolom staat, helemaal af.
Maak een schatting van het volumedebiet dat te verwachten is.
• Maak reële schattingen voor alle niet bekende parameters.
• Houd rekening met de wrijving in de leiding tussen de hoofdwaterleiding en de keuken.
• Laat zien of bochten in de leiding van belang zijn voor het debiet.
• De druk in de hoofdleiding in de straat mag constant worden verondersteld.
 ⬇ hint
Mechanische-energiebalans, met zelfgeschatte lengte, diameter, en druk- en hoogteverschil. De waterdruk op het Delftse waternet is “14 m waterkolom”. Voor de bepaling van $4f$ moet geïtereerd worden met een gekozen beginwaarde voor de snelheid.
 ⬇ antwoord
$Φ_m { g(z_1-z_2) + {v_1^2-v_2^2}/2 + {p_1-p_2}/ρ } - Φ_me_f + Φ_w = 0$, met $Φ_w$ = 0.
⇒ $g(z_1-z_2) + {v_1^2-v_2^2}/2 + {p_1-p_2}/ρ - e_f = 0$
${p_1-p_2}/ρ = 14g$ (14 m waterkolom overdruk op waterleiding)
$e_f$: intreeverlies $0,5·1/2v^2$, wrijving $4f1/2v^2L/D$
Dus $v = ({(14-H)g} / {3/4 + 4f1/2L/D})^{1/2}$ (de 3/4 is afkomstig van $1/2v_2^2$ en $0,5·1/2v^2$)
Kies bijvoorbeeld $L$ = 10 m, $D$ = 1 cm, $H$ = 5 m, dan $v = ({9g} / {3/4 + 1/2·103·4f})^{1/2}$
Probeer bijvoorbeeld $v$ = 1 m/s ⇒ $Re$ = 1·104 ⇒ $4f$ = 0,03 ⇒ $v$ = 2,4 m/s ⇒ $Re$ = 2,4·104 ⇒ $4f$ = 0,22 ⇒ $v$ = 2,7 m/s ⇒ $Re$ = 2,7·103.
Nu is $4f$ praktisch gelijk aan de waarde in de vorige iteratie ⇒ $v$ = 2,7 m/s ⇒ $Φ_v$ = 0,22 L/s.
Bochten en intreeverlies: $K_w = 0,5 v^2$; telt niet hard mee t.o.v. 12 $v^2$.

Rietje

Welke onderdruk heerst er in de mond bij het leegdrinken van een glas door een rietje-met-een-bocht?
 ⬇ hint
Mechanische-energiebalans, met een heleboel zelf te schatten.
 ⬇ antwoord
Schattingen: Glas: 250 ml. Leegdrinktijd: 10 s. Doorsnede rietje: 4 mm. Lengte: 16 cm, met knik.
$v$ berekenen uit volume, leegdrinktijd en doorsnede: 1,99 m/s.
Instroom: $e_f = 0,5 1/2 v^2$ = 1,0 J/kg; uitstroom: $e_f = 1/2v^2$ = 2,0 J/kg; bocht: $K_w$ = 1 ⇒ $e_f$ = 2 J/kg.
$Re$ = 8000 ⇒ $4f$ = 0,032 ⇒ $e_f$ = 2,6 J/kg.
Totale $e_f$ = 1 + 2 + 2 + 2,6 = 7,6 J/kg.
Gemiddelde stijging is ongeveer 8 cm.
$Φ_m ( g(z_1-z_2) + {v_1^2-v_2^2}/2 + {p_1-p_2}/ρ ) - Φ_me_f + Φ_w = 0$, met $Φ_w$ = 0
⇒ $g(z_1-z_2) + {v_1^2-v_2^2}/2 + {p_1-p_2}/ρ - e_f = 0$
$10(0,08) + (0)/2 + {p_1-p_1}/1000 - 7,6 = 0$ ⇒ $p_1-p_2$ = 8,4 kPa, ongeveer 0,1 atm.

Tentamenvraagstukken

Aceton (2) - Hexaan - Rietje

Waterkracht


Kijk ook voor dit onderwerp uiteraard weer terug naar de eerstejaarsmodulew.

In een waterkrachtcentrale wordt de zwaarte-energie of de kinetische energie van water gebruikt om elektriciteit te maken. Waar hoogteverschillen zijn, zoals in de Alpen, kan in een stuwmeer water op grote hoogte boven het dalniveau gebracht worden (zie figuur 23). Met een turbine wordt dan de zwaarte-energie van het water benut. Waar geen bergen zijn maar wel snelstromend water, kan juist de kinetische energie van het water in elektriciteit omgezet worden.


Figuur 23. Waterkrachtcentrale; A: reservoir; B: centrale; C: turbine; D: generator; E: inlaat; F: toevoerleiding; G: elekticiteitsnet; H: rivier (bron: Wikimedia Commons)


We gaan weer uit van de mechanische-energiebalans:

$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$
In het geval van een windturbine konden we de termen $z_1-z_2$, $p_1-p_2$ en $Φ_f$ nul stellen. In een waterkrachtcentrale ligt het ingewikkelder. Alle termen zijn in ieder geval al afhankelijk van welke punten we "1" en "2" kiezen (E en H? vlak voor en vlak na de turbine?). Daarnaast is het goed mogelijk dat de wrijving in de buizen, $Φ_f$, niet verwaarloosbaar is. Maar met behulp van onze vorige onderwerpen kunnen we hieraan rekenen (zie het vraagstuk Kölnbrein).

Dit zijn de drie belangrijkste turbinetypen (zie figuur 24):
• Peltonturbine: een soort veredeld onderslaand waterradw; hier wordt met hoge snelheid water tegenaan gespoten;
• Francisturbine: meest gebruikte turbine; geschikt voor valhoogtes van 10 m en hoger;
• Kaplanturbine: meestal met verstelbare schoepen; geschikt voor hoge watersnelheid bij lage valhoogte.


Figuur 24. Van links naar rechts: Pelton-, Francis-, Francis- en Kaplanturbine (bron: Wikimedia Commons)

Energie-inhoud


Wanneer een stuwmeer leegloopt, neemt de waterhoogte - en dus de energie-inhoud per kg water - af. Bij stuwmeren met grote hoogteverschillen ten opzichte van de locatie van de elektriciteitsopwekking kan deze afname nog wel verwaarloosd worden. Bij lagere stuwmeren echter niet. Een extreem voorbeeld is het voorstel van het Energie-eiland, of het valmeer, dat in de Noordzee aangelegd zou kunnen worden. Daar wordt energie opgeslagen door water wég te pompen uit een omdijkt stuk zee (zie figuur 25). Links de situatie bij voldoende wind: het water wordt uit het meer in de omringende zee gepompt. Rechts de windstille situatie: door het water het meer in te laten stromen, wordt elektriciteit opgewekt.


Valmeer in de Noordzee.

Zie voor de berekening het vraagstuk Energie-eiland.

Vraagstukken


Kölnbrein

In het Maltadal in Oostenrijk bevindt zich de hoogste stuwdam van Oostenrijk: de Kölnbrein-dam (hoogte 200 m). Het water uit het stuwmeer stroomt door een 20 km lange leiding met een diameter van 4,9 m naar een 1100 m lager gelegen elektriciteitscentrale. Door de leiding stroomt jaarlijks 275 miljoen m³ water.
a. Hoe groot is het gemiddelde vermogen dat opgewekt zou kunnen worden als er geen verliezen waren?
De rotswand waarin de leiding is uitgehouwen, is bekleed met beton.
b. Hoe groot is het vermogensverlies door wrijving in deze leiding, op basis van de gemiddelde snelheid?
Als jaarlijks geleverde energie wordt in de documentatie van de centrale 715 GWh genoemd.
c. Hoe hoog is het rendement van de centrale, gebaseerd op de gemiddelden uit (a) en (b)?
Het piekvermogen van de centrale is 850 MW.
d. Wat is het waterdebiet bij piekvermogen, als het wrijvingsverlies verwaarloosd mag worden?
e. Bereken de watersnelheid in de leiding bij piekvermogen.
 ⬇ antwoord (a)
${dE}/{dt} = Φ_m(g(z_1-z_2)) + Φ_w = 0$ ⇒ $Φ_w = Φ_mg(z_1-z_2) = Φ_vρg(z_1-z_2)$
⇒ $Φ_w$ = 275·106 · 1000 · 10 · 1100 / (365 · 24 · 3600) = 9,59·107 W = 96 MW
 ⬇ antwoord (b)
$A$ = 18,86 m² ⇒ $v$ = 0,4624 m/s ⇒ $Re$ = 2,3·106
$ε/D$ = 0,003/4,9 ≈ 1·10-3 ⇒ $f/2$ = 0,0025 ⇒ $e_f = 4 f/2 L/D v^2$ = 8,727 J/kg
⇒ $Φ_f = e_f Φ_m$ = 7,6·104 W ⇒ $P_w$ = 76 kW
 ⬇ antwoord (c)
715·109·3600 = 2,574·1015 J ⇒ 2,574·1015/(365·24·3600) = 81,6 MW
⇒ η = 81,6/95,9 = 0,851 = 85%
 ⬇ antwoord (d)
$Φ_m = P_{piek} / {g·(z_1-z_2)·η}$ = 850·106 / (10·1100·0,85) = 9,091·104 kg/s ⇒ $Φ_v$ = 90,91 = 91 m³/s
 ⬇ antwoord (e)
$v = Φ_v/A = Φ_v/{1/4πD^2}$ = 90,91/18,86 = 4,8203 = 4,8 m/s

Energie-eiland

Het door KEMA/Lievense voorgestelde Energie-eiland heeft de volgende eigenschappen (We@Sea 2007w): oppervlak 40 km², niveau onder het zeeoppervlak 32 tot 40 m.
a. Komt de totale energie-inhoud van het water tussen de twee niveaus overeen met de door de ontwerpers opgegeven 20 GWh?
b. Waarom zouden de bovenste 32 meter van het valmeer niet gebruikt worden?
 ⬇ antwoord (a)
Als het waterniveau zich op diepte $z$ bevindt, kost het oppompen van een laagje $dz$ aan energie $g·z·A·dz$.
Integreren tussen $z_1$ en $z_2$ levert dus: $E = ∫↙{z_1}↖{z_2} ρgzA dz = [1/2ρgz^2A]_{z_1}^{z_2} = 1/2ρgA(z_2^2-z_1^2)$,
ofwel, met de gegeven waarden: $E = 1/2·1025·9,81·40·10^6·(40^2-32^2)$ = 1,15·1014 J = 115 TJ = 32·109 Wh = 32 GWh. Dit is meer dan de opgegeven 20 GWh, maar van dezelfde orde van grootte. In de praktijk zijn er verliezen, het basin heeft geen loodrechte wanden maar waarschijnlijk een badkuipvorm, enz.
 ⬇ antwoord (b)
In de bovenste 32 m zit aan energie $E = 1/2·1025·9,81·40·10^6·(32^2-0^2)$ = 2,1·1014 J, maar daarvoor moet wel een vier keer zo groot volume aan water verpompt worden.

Macroscopische impulsbalans


We kunnen de tweede wet van Newtonw:
$$F↖{→} = m·a↖{→}$$ ook schrijven als:
$$F↖{→} = m·{dv↖{→}}/{dt} = {d(mv↖{→})}/{dt}$$ (De pijlen geven aan dat kracht, versnelling en snelheid vectoren zijn.)
Zo bekeken, kunnen we kracht opvatten als veroorzaker van een verandering van $mv↖{→}$ in de tijd. Deze combinatie van massa en snelheid, $mv↖{→}$, heeft in de natuurkunde de naam impuls gekregen, met als symbool $p↖{→}$, dus:
$$F↖{→} = {dp↖{→}}/{dt}$$ Omdat impuls een vector is, moeten we altijd naar drie componenten kijken: $p↖{→} = (p_x, p_y, p_z)$.

Als in een waterleiding een bocht zit, moet de leiding een kracht uitoefenen op het water om dit de bocht te laten maken. Met een impulsbalans kunnen we uitrekenen hoe groot te kracht is die hiervoor nodig is. We gaan impulsbalansen opstellen voor de bocht in figuur 25.

Figuur 25. Water in een bocht in een buis.
Eerst kijken we naar de impuls in de x-richting, $p_x$. De algemene vorm voor de impulsbalans in de x-richting is:
$${dp_x}/{dt} = Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit} + F_x$$ waarin $Φ_{p,x,in}$ en $Φ_{p,x,uit}$ de ingaande en uitgaande impulsstroom zijn, en $F_x$ de kracht die in de x-richting door de buis op het water wordt uitgeoefend.

Het water stroomt de buis binnen met een gemiddelde snelheid $v$, geheel in de x-richting, dus $v_{x,in} = v$. Daarmee stroomt ook impuls in de x-richting de bocht in: per seconde stroomt $Φ_m$ aan massa binnen, die de snelheid $v_{x,in}$ heeft, dus per seconde is de instroom van impuls in de x-richting gelijk aan $(Φ_m·v)_{x,in} = Φ_m·v$. De uitgaande stroom heeft géén impuls in de x-richting, dus $Φ_{p,x,uit} = 0$. Daarmee wordt de impulsbalans:
$${dp_x}/{dt} = Φ_m·v - 0 + F_x$$ De totale impuls van het water in de bocht blijft steeds gelijk, want de snelheden veranderen niet. Er is wel telkens nieuw water in de bocht, maar de totale impuls blijft hetzelfde. De linker term, ${dp_x}/{dt}$, is dus gelijk aan nul. Ofwel: $0 = Φ_m·v - 0 + F_x$. Daarmee kunnen we de kracht in de x-richting bepalen: $ F_x = -Φ_m·v$.
Op dezelfde manier kunnen we voor de y-richting afleiden:
$${dp_y}/{dt} = Φ_{p,y,in} - Φ_{p,y,uit} + F_y$$ $$0 = 0 - Φ_m·v + F_y$$ Dus geldt: $F_y = Φ_m·v$.
Voor de totale kracht die de buis op het water uitoefent, geldt dus:
$$F_{tot} = √{F_x^2+F_y^2} = √{(-Φ_m·v)^2 + (Φ_m·v)^2$$

Zie ook

Microscopische impulsbalans

Vraagstukken

Bocht

Door een bocht in een leiding stroomt 250 liter water per seconde. De leiding heeft een diameter van 40 cm. De hoek tussen de beide delen van de leiding is 120°.
a. Hoeveel bedraagt de kracht die het water op de leiding uitoefent?

b. Als dit teveel zou zijn voor de constructie, zou de diameter van de leiding dan groter of kleiner gemaakt moeten worden?
 ⬇ hint (a)
Impulsbalans in x-richting, impulsbalans in y-richting; berekende krachten optellen volgens Pythagoras.
 ⬇ antwoord (a)
In deze uitwerking ligt de buis vóór de bocht langs de y-as, en is de knik gericht naar de positieve x-richting.
${dp_x}/{dt} = Φ_m·v_{x,in} - Φ_m·v_{x,uit} + F_{x,wand} = 0$ (stationair)
⇒ $0 = 0 - Φ_m·v·cos(30°) + F_{x,w}$
$Φ_m = ρΦ_v = 250 {\k\g}/\s$; $v = Φ_v/A = Φ_v/{π/4D^2} = 1,989 \m/\s$ ⇒ $F_{x,w} = 430,6\ \N$
${dp_y}/{dt} = Φ_m·v_{y,in} - Φ_m·v_{y,uit} + F_{y,wand}$
$0 = 250·1,989 - 250·1,989·sin(30°) + F_{y,w}$ ⇒ $F_{y,w} = -248,6\ \N$ (let op teken!)
$F_{totaal}^2 = F_{x,w}^2 + F_{y,w}^2$ ⇒ $F_{totaal} = 497,2\ \N = 0,50\ \k\N$
 ⬇ hint (b)
Kwalitatief beredeneren wat er met de krachten gebeurt.
 ⬇ antwoord (b)
$D$ groter ⇒ $v$ kleiner ⇒ $F$ kleiner

Bak

Een bak op wielen met een gewicht van 20 kg wordt horizontaal getroffen door een waterstraal met een diameter van 3,0 cm en een snelheid van 5,0 m/s.
a. Met welke versnelling zal de bak aanvankelijk gaan rollen als de wrijving verwaarloosd mag worden?
b. Hoe komt het dat de versnelling van de bak zal gaan afnemen?
 ⬇ hint (a)
Bedenk dat $a = F/m$.
 ⬇ antwoord (a)
${dp_x}/{dt} = Φ_m·v_{x,in} - Φ_m·v_{x,uit} + Fw = 0$ (quasi-stationair: de bak begint nog net niet te rollen)
$F_w$ is de kracht die de wand van de bak op het water uitoefent!
$Φ_m = ρAv = 103 π/4 (0,03)^2 5 = 3,534\ {\k\g}/\s$; $v_{x,uit} = 0
⇒ $F_w = -17,67\ \N$ ⇒ $F_b = 17,67\ \N$ ⇒ $a = {17,67}/{20} = 0,88\ \m/\s^2$.
 ⬇ antwoord (b)
Het snelheidsverschil tussen het water en de bak wordt steeds kleiner, waardoor de kracht afneemt. Uiteindelijk komt de bak natuurlijk ook buiten het bereik van de straal.

Graan

Uit een voorraadsilo valt per seconde 10 kg graan op een lopende band. Het graan valt, met een te verwaarlozen beginsnelheid, 2,0 m voordat het de band raakt.
a. Met welke snelheid raakt het graan de band?
De band loopt met een snelheid van 1,0 m/s omhoog met een hoek van 30° met de horizontaal.
b. Leid met behulp van een impulsbalans af welke kracht in horizontale richting op het graan moet worden uitgeoefend.
c. Doe hetzelfde voor de verticale richting.
 ⬇ hint (a)
Stel de zwaarte-energie vóór de val gelijk aan de kinetische energie ná de val.
 ⬇ antwoord (a)
$mgh = 1/2 mv^2$ ⇒ $v$ = 6,26 = 6,3 m/s
 ⬇ antwoord (b)
${dp_x}/{dt} = Φ_m·v_{x,in} - Φ_m·v_{x,uit} + F_x = 0$ ⇒ (met $v_{x,in}$=0) $F_x = Φ_m·v_{x,uit} = 10·1,0·cos(30°) = 8,7\ \N$
 ⬇ hint (c)
Denk eraan dat het graan een snelheid in de vertikale richting moet krijgen.
 ⬇ antwoord (c)
${dp_z}/{dt} = Φ_m·v_{z,in} - Φ_m·v_{z,uit} + F_z = 0$ ⇒ $F_z = Φ_m(v_{z,uit} - v_{z,in}) = 10·(1,0·sin(30°)-(-6,26)) = 68\ \N$

Tentamenvraagstukken

Brielse Meerleiding - Knik - Modder (1) - Opspuiten

Impulstransport


Bij het opstellen van de macroscopische impulsbalans zagen we dat impuls met een fluïdum mee een controlevolume in en uit kan stromen. Transport van impuls kan echter ook loodrecht op de stromingsrichting optreden. Als we een blad papier op een laagje water laten drijven en we trekken in horizontale richting aan het blad (zie figuur 26), dan zal het water eronder ook in beweging komen (rode lijn in de figuur):

Figuur 26. Impulstransport door uitoefenen van kracht.
Blijven we aan het blad trekken, dan zal steeds dieper in het water merkbaar zijn dat erboven iets in beweging is (groene lijn), totdat er uiteindelijk een recht snelheidsprofiel ontstaat (blauwe lijn) - als het water niet te diep en het papier groot genoeg is.

Klik hier voor een simulatie van dit proces.w

We zien dus dat impuls in de x-richting ($p_x=mv_x$) is getransporteerd in de z-richting. De kracht die hiervoor nodig is, bedraagt per oppervlakte-eenheid:
$$τ_{zx} = -µ {dv_x}/{dz}$$ waarin µ de viscositeit van het fluïdum is. De grootheid $τ_{zx}$ is de schuifspanning: de spanning (kracht per oppervlak) die nodig is om het fluïdum te laten schuiven. Ook deze vergelijking staat bekend als een wet van Newton. Vloeistoffen die aan deze wet voldoen, worden dan ook newtonse vloeistoffen genoemd.

Deze kracht blijft nodig om de snelheidsgradiënt ${dv_x}/{dz}$ in stand te houden, want als we stoppen met trekken, komt het blad papier tot stilstand door de wrijving met en in het water. Dit komt overeen met het verdwijnen van een temperatuurgradiënt wanneer de warmtestroom ophoudt.

Het min-teken is een definitiekwestie: $τ_{zx}$ is de kracht die een stof met een lagere waarde $z$ uitoefent op de stof met een hogere waarde van $z$. Hier is het dus de kracht die het water vlak bij het papier (lagere $z$) uitoefent op het papier (hogere $z$), en die kracht is negatief (het water "probeert het papier tegen te houden"). De kracht die het papier op het water uitoefent is volgens de derde wet van Newtonw even groot maar tegengesteld gericht.

We zullen later vloeistoffen tegenkomen die niet aan deze wet van Newton voldoen.

Vraagstukken

Wrijving

Een cilinder met een diameter van 12 cm en een lengte van 15 cm draait rond in een buis met een iets grotere diameter. De ruimte tussen de cilinder en de buis is 1,0 mm en is gevuld met een olie die een viscositeit heeft van 50 mPa·s. Wat is de kracht die op de cilinderwand moet worden uitgeoefend om de cilinder met twee omwentelingen per seconde aan het draaien te houden?
 ⬇ antwoord
$τ_{zx} = -µ {dv_x}/{dz}$; $v = 2·πD$ ⇒ $τ_{zx}$ = -50·10-3 · 2 · π·0,12 /0,001 = 37,70 N/m²
$A$ = $π D L$ = 5,655·10-2 m² ⇒ $F$ = $Aτ_{zx}$ = 2,13 = 2,1 N

Tentamenvraagstukken

Kracht - Platen (2) - Vlakke plaat

Microscopische impulsbalans


Nu we weten hoe een impulsbalans voor een volume moet worden opgesteld, en hoe impuls binnen een fluïdum getransporteerd wordt, kunnen we op heel kleine schaal gaan kijken naar de krachten die spelen in stromingen.

Daarvoor bakenen we in een stroming een kubusvormig volume af met afmetingen dx, dy en dz (zie figuur 27).

Figuur 27. Kubusvormig controlevolume.
Het fluïdum stroomt dóór het kubusje. Voor het fluïdum in de kubus stellen we de drie impulsbalansen op. Voor de x-richting geldt, net als bij de macroscopische impulsbalans:
$${dp_x}/{dt} = Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit} + F_x$$ De term $F_x$ staat voor alle krachten die op het fluïdum in de kubus werken. Dit zijn: de zwaartekracht $F_g$, de kracht $F_p$ ten gevolge van drukverschillen in het fluïdum, en de kracht $F_s$ ten gevolge van snelheidsgradiënten in het fluïdum - allemaal voor zover deze in de x-richting staan. Zo wordt de formule:
$${dp_x}/{dt} = Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit} + F_{s,x} + F_{p,x} + F_{g,x}$$ Als de dichtheid van het fluïdum constant is, en dus de massa binnen de kubus ook, geldt:
$${dp_x}/{dt} = {d(mv_x)}/{dt} = m{dv_x}/{dt}= ρ{dv_x}/{dt}dxdydz$$ $$F_{g,x} = ρg_xdxdydz$$ De kracht ten gevolge van drukverschillen in de x-richting kunnen we als volgt schrijven (want $F = p·A$):
$$F_{p,x} = [p]_xdydz - [p]_{x+dx}dydz = ([p]_x-[p]_{x+dx})dydz$$ (Hierin betekent de notatie $[Y]_x$ "de waarde van variabele $Y$ op plaats $x$".)
Voor $F_{s,x}$ kijken we naar de schuifspanning die door snelheidsgradiënten op de zijwanden van de kubus optreedt. Het fluïdum dat zich onder de kubus bevindt, oefent in de x-richting een kracht $[τ_{zx}dxdy]_z$ uit op de kubus. Op het bovenvlak geldt, dat $[τ_{zx}dxdy]_{z+dz}$ de kracht voorstelt die het fluïdum in de kubus uitoefent op het fluïdum erboven, dus als we de kracht willen weten die het fluïdum boven de kubus uitoefent op het fluïdum in de kubus, moeten we daar volgens Newton een minteken voor zetten: $-[τ_{zx}dxdy]_{z+dz}$. Voor het boven- en ondervlak samen geldt dus:
$$[τ_{zx}dxdy]_z-[τ_{zx}dxdy]_{z+dz} = ([τ_{zx}]_z-[τ_{zx}]_{z+dz})dxdy$$ Op dezelfde manier kunnen we voor het linker- en rechtervlak en voor het voor- en achtervlak schrijven:
$$([τ_{xx}]_x-[τ_{xx}]_{x+dx})dydz$$ $$([τ_{yx}]_y-[τ_{yx}]_{y+dy})dxdz$$ waarmee de gehele formule wordt:
$$ρ{dv_x}/{dt}dxdydz = Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit} + ([τ_{xx}]_x-[τ_{xx}]_{x+dx})dydz +([τ_{yx}]_y-[τ_{yx}]_{y+dy})dxdz +([τ_{zx}]_z-[τ_{zx}]_{z+dz})dxdy + ([p]_x-[p]_{x+dx})dydz + ρg_xdxdydz$$ We zien in de meeste termen combinaties van dx, dy en dz terugkomen. We kunnen de formule vereenvoudigen door te delen door dxdydz:
$$ρ{dv_x}/{dt} = {Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit}}/{dxdydz} +{[τ_{xx}]_x-[τ_{xx}]_{x+dx}}/{dx} +{[τ_{yx}]_y-[τ_{yx}]_{y+dy}}/{dy} +{[τ_{zx}]_z-[τ_{zx}]_{z+dz}}/{dz} + {[p]_x-[p]_{x+dx}}/{dx} + ρg_x$$ Op vier plaatsen zien we termen van de vorm ${f(x)-f(x+dx)}/{dx}$. In deze vorm herkennen we de negatieve afgeleide van de functie f(x), want $f'(x) ={f(x+dx)-f(x)}/{dx}$. Zo kunnen we dus schrijven:
$$ρ{∂v_x}/{∂t} = {Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit}}/{dxdydz} -{∂τ_{xx}}/{∂x} -{∂τ_{yx}}/{∂y} -{∂τ_{zx}}/{∂z} - {∂p}/{∂x} + ρg_x$$ (Hierin zijn de d's in de afgeleiden vervangen door kromme d's om aan te geven dat het hier steeds partiële afgeleiden betreft.)
Voor de eerste twee termen aan de rechterkant van de oorspronkelijke formule, $Φ_{p_x, in} - Φ_{p,x,uit}$, bekijken we de impuls in de x-richting die met het fluïdum mee de kubus instroomt bij de zes buitenvlakken.
Voor het linker zijvlak geldt: $Φ_{p,x,in} = Φ_mv_x = ρv_xAv_x = ρv_xdydz v_x$. Op dezelfde manier als bij de andere termen, kunnen we deze herschrijven door te delen door dxdydz. Zo wordt de impulsbalans:
$$ρ{∂v_x}/{∂t} = -ρv_x{∂v_x}/{∂x}-ρv_y{∂v_x}/{∂y}-ρv_z{∂v_x}/{∂z} -{∂τ_{xx}}/{∂x} -{∂τ_{yx}}/{∂y} -{∂τ_{zx}}/{∂z} - {∂p}/{∂x} + ρg_x$$ waarmee we de uiteindelijke vorm krijgen:
$$ρ ( {∂v_x/∂t} + v_x{∂v_x/∂x} + v_y{∂v_x/∂y} + v_z{∂v_x/∂z} ) = - ( ∂τ_{xx}/∂x + ∂τ_{yx}/∂y + ∂τ_{zx}/∂z ) - ∂p/∂x + ρg_x$$ Voor de y- en de z-richting kunnen we overeenkomstige vergelijkingen afleiden.

Deze vergelijkingen zijn varianten van de Navier-Stokes-vergelijkingenw. De vorm hierboven is, in tegenstelling tot de Navier-Stokes-vergelijkingen, ook geldig voor niet-newtonse vloeistoffen.

Zie ook

Macroscopische impulsbalans

Vraagstukken

Termen

Leg van ieder van de gekleurde onderdelen in onderstaande formule uit wat de betekenis ervan is.

Hellend vlak

Een laagje water van 1,0 mm ligt op een plat vlak dat een hoek van 1,0° met de horizontaal maakt.
a. Leid uit een impulsbalans af hoeveel de snelheid van het vrije oppervlak bedraagt.
b. Verwacht je dat de stroming in het laagje laminair is, of turbulent?
 ⬇ hint (a)
Impulsbalans voor de x-richting, met de x-as op het oppervlak in de stroomrichting en de z-as loodrecht op het wateroppervlak.
 ⬇ antwoord (a)
We gaan uit van
$ρ ( {∂v_x/∂t} + v_x{∂v_x/∂x} + v_y{∂v_x/∂y} + v_z{∂v_x/∂z} ) = - ( ∂τ_{xx}/∂x + ∂τ_{yx}/∂y + ∂τ_{zx}/∂z ) - ∂p/∂x + ρg_x$
en brengen deze vergelijking met de juiste argumentatie (stationair; termen met afgeleiden naar $x$ en $y$ zijn nul; $v_y$ en $v_z$ zijn nul) terug tot:
$ρ ( 0 + 0 + 0 + 0 ) = - ( 0 + 0 + ∂τ_{zx}/∂z ) - 0 + ρg_x$
ofwel: $∂τ_{zx}/∂z = ρg\s\i\n(α)$ (met $α$ de hoek van het vlak met de horizontaal).
Hieruit volgt: $τ_{zx} = ρg\s\i\n(α)z + C_{int}$, en met $τ_{zx}=0$ op het vrije oppervlak (dus $C_{int}=0$) volgt: $τ_{zx} = ρg\s\i\n(α)z$, en omdat het over water gaat, geldt dus: $-μ∂v_x/∂z = ρg\s\i\n(α)z$.
Nog eens integreren naar $z$: $v_x = -{ρg}/{2μ}\s\i\n(α)z^2 + C_2$.
Nu geldt: $v(d) = 0$, waaruit volgt: $v_x = {ρg}/{2μ}\s\i\n(α)(d^2 - z^2)$.
 ⬇ antwoord (b)
De maximale snelheid is ${ρg}/{2μ}\s\i\n(α)d^2$ = 8,6 cm/s, dus $Re = 86$, dus dat zal nog wel laminair zijn. Maar doordat de laagdikte in het kwadraat in de snelheid zit en er in $Re$ nóg een keer in komt, wordt een laagje al snel turbulent als het dikker wordt.

Niet-newtonse vloeistoffen


Lang niet alle vloeistoffen houden zich aan de wet van Newton.

Er zijn vloeistoffen die makkelijker gaan stromen als er grote snelheidsverschillen zijn, of die dan juist extra stroperig worden. Er zijn vloeistoffen die een ingebouwde weerstand tegen stroming hebben, die eerst overwonnen moet worden voordat ze überhaupt willen stromen. Er zijn vloeistoffen die zich als elastiek gedragen. En nog veel meer varianten.

Deze vloeistoffen hoeven niet eens kunstmatig te zijn. Veel vloeistoffen van plantaardige of dierlijke oorsprong bevatten bijvoorbeeld eiwitten, koolhydraten of vetten en krijgen daardoor niet-newtonse eigenschappen. Bloed, margarine, mosterd en een maïzena-oplossing zijn voorbeelden.

Machtswetvloeistoffen


Bij machtswetvloeistoffen loopt het verband tussen de schuifspanning $τ_{zx}$ en de snelheidsgradiënt ${dv_x}/{dz}$ volgens een macht $n$:
$$τ_{zx}=-K({dv_x}/{dz})^n$$ waarin $K$ de consistentie (Engels: consistency) is.

Wanneer n < 1, lijkt de vloeistof bij hogere snelheidsgradiënten een lagere viscositeit te hebben. Dit kan bijvoorbeeld het geval zijn wanneer de vloeistof lange moleculen bevat. Die komen bij een hogere snelheidsgradiënt wat meer in dezelfde richting te liggen, waardoor ze gemakkelijker langs elkaar schuiven. Dit type vloeistof heet pseudoplastisch. Voorbeelden: bloed, latexverf, soep.

Als n > 1, lijkt de viscositeit bij een hogere snelheidsgradiënt juist een hogere viscositeit te krijgen. Deze vloeistoffen zijn extra lastig snel te mengen. Ze heten dilatant. Maïzenapap is een voorbeeld.

Eigenlijk zijn newtonse vloeistoffen (n = 1) een bijzonder geval van machtswetvloeistoffen: ze zijn het grensgeval tussen pseudoplastische en dilatante vloeistoffen. Water, honing (niet-gekristalliseerd), suikerstroop zijn voorbeelden van newtonse. Ook gassen gedragen zich meestal newtons.

Bingham-vloeistoffen


Bingham-vloeistoffen stromen alleen als de schuifspanning boven een bepaalde grenswaarde (de zwichtspanning) komt. Deze zwichtspanning wordt genoteerd als $τ_0$ of $τ_y$ (van het Engels: yield stress). Veel voedingsmiddelen hebben deze eigenschap: ze zijn smeerbaar, maar blijven in hun vorm staan als er geen externe kracht op wordt uitgeoefend. Denk aan margarine, pindakaas, mosterd en mayonaise. Ook klei en tandpasta hebben een zwichtspanning.

Figuur 28 laat de relatie tussen de schuifspanning en de snelheidsgradiënt zien voor verschillende typen vloeistoffen.


Figuur 28. De schuifspanning als functie van de snelheidsgradiënt. (bron: Wikimedia Commons)

Andere typen


Machtswet- en Bingham-vloeistoffen zijn eenvoudige modellen waarmee veel vloeistoffen voldoende mee beschreven kunnen worden, maar er zijn vloeistoffen met heel andere soorten niet-newtons gedrag. Deze vallen buiten de inhoud van deze module, maar zijn wel interessant om te kennen - zie bijvoorbeeld dit filmpjew.

Vraagstukken

Saus

In een productieproces in de voedingsindustrie bevindt zich tussen twee parallelle, vertikale platen een saus met een dichtheid van 1200 kg/m³. De afstand tussen de platen is 1,0 cm.
a. Leid af hoe de schuifspanning afhangt van de x-coördinaat. Kies de x-richting loodrecht op de platen, met het nulpunt voor x midden tussen de twee platen, en de z-richting vertikaal.
De machtswet waarmee de saus beschreven wordt, is:
$τ_{xz} = -4,2·({dv_z}/{dx})^{0,51}$
b. Laat zien dat voor de vertikale snelheid geldt: $v_z = c_1x^{2,96} +c_2$, waarin $c_1$ en $c_2$ constanten zijn, en geef de waarden van deze constanten.
c. Wat is de maximale snelheid van de saus?
 ⬇ hint
Gebruik de impulsbalans voor z-richting.
 ⬇ antwoord (a)
$ρ ( {∂v_z/∂t} + v_x{∂v_z/∂x} + v_y{∂v_z/∂y} + v_z{∂v_z/∂z} ) = - ( ∂τ_{xz}/∂x + ∂τ_{yz}/∂y + ∂τ_{zz}/∂z ) - {∂p}/{∂z} + ρg_z$
${∂...}/{∂t} = 0$ (stationair); $v_x = v_y = 0$ (geen beweging in x- en y-richting); ${∂...}/{∂z} = 0$ (geen veranderingen in de z-richting); ${∂p}/{∂z} = 0$ (geen drukval in de z-richting).
Blijft over: $0 = - {∂τ_{xz}}/{∂x} + ρg_z = - {∂τ_{xz}}/{∂x} - ρg$ ⇒ ${∂τ_{xz}}/{∂x} = ρg$ ⇒ $τ_{xz} = - ρ·g·x + C_{int}$.
In midden: symmetrisch ⇒ $τ_{xz} = 0$ ⇒ $C_{int}$ = 0 ⇒ $τ_{xz} = - ρ·g·x$ (tot zover onafhankelijk van stofeigenschappen)
 ⬇ antwoord (b)
⇒ $τ_{xz} = -4,2·({dv_z}/{dx})^{0,51} = -ρ·g·x$.
$({dv_z}/{dx})^{0,51} = {ρ·g·x}/{4,2}$ ⇒ ${dv_z}/{dx} = ({ρ·g·x}/{4,2})^{1/{0,51}}$ ⇒ ${dv_z}/{dx} =C·x^{1,96}$
Variabelen scheiden, integreren, randvoorwaarde (snelheid nul op buiswand), levert:
$v_z$ = 1,94·106 $x^{2,96}$ - 0,30
 ⬇ antwoord (c)
snelheid maximaal voor $x$=0: 0,30 m/s

Boterhampasta

Op de boterham van een kleuter zit een laag boterhampasta van 4,0 mm dik. De pasta gedraagt zich als een Binghamvloeistof met een zwichtspanning $τ_0$ van 25 Pa. De dichtheid van de pasta is 1050 kg/m³.
a. Onder welke hoek met de horizontaal mag de boterham gehouden worden zodat de pasta nog net niet begint te schuiven?
De kleuter houdt de boterham vertikaal, zodat de pasta gaat stromen.
b. Hoe dik is de laag waarin geen snelheidsverschillen optreden?
c. Teken het schuifspanningsprofiel en het snelheidsprofiel.
 ⬇ hint
Bingham: geen stroming als $τ$ kleiner dan $τ_0$. Met impulsbalans.
 ⬇ antwoord (a)
$ρ ( {∂v_z/∂t} + v_x{∂v_z/∂x} + v_y{∂v_z/∂y} + v_z{∂v_z/∂z} ) = - ( ∂τ_{xz}/∂x + ∂τ_{yz}/∂y + ∂τ_{zz}/∂z ) - {∂p}/{∂z} + ρg_z$
Assenstelsel: $z$ langs vloeistofoppervlak omhoog, $x$ loodrecht op vloeistofoppervlak, richting boterham.
Stationair, geen snelheden in x- en y-richting, geen gradiënten in y- en z-richting
⇒ $0 = - {dτ_{xz}}/{dx} + ρ·g_z$; $g_z = -g·sin(α)$, met $α$ de hoek tussen boterham en horizontaal.
${dτ_{xz}}/{dx} = ρ·g·sin(α)$; integreren met randvoorwaarde $τ$ = 0 voor $x$ = 0: $τ_{xz} = -ρ·g·x·sin(α)$.
$τ_{xz}$ is maximaal voor $x = d$ (laagdikte) ⇒ $ρ·g·d·sin(α)$ < 25 ⇒ $α$ < 37°.
 ⬇ antwoord (b)
$α$ = 90° ⇒ $τ_{xz} = -ρ·g·x$. Dit is gelijk aan 25 voor $d_0$ = 2,4 mm.
(De laag zonder snelheidsgradiënt ligt het dichtst bij het pastaoppervlak!)

Schuin

Een laag van een Binghamvloeistof bevindt zich tussen twee evenwijdige platen. De platen wordt zo schuin gezet dat de schuifspanning in de vloeistof bij het plaatoppervlak vier keer zo hoog is als de zwichtspanning $τ_0$. Teken het snelheidsprofiel in de vloeistof. De maximale snelheid hoeft niet uitgerekend te worden en mag $v_{max}$ genoemd worden. Teken recht bedoelde lijnen ook werkelijk recht.
 ⬇ antwoord
Tekening: $x$-as midden tussen platen; $z$-as loodrecht daarop; $z$ loopt van $-d/2$ tot $d/2$.
Uniform snelheidsprofiel ($v_x = v_{max}$) tussen $-1/8d$ en $1/8d$.
Daarbuiten kwadratisch verloop naar $v_x$ = 0 op de platen.
WERK IN UITVOERING: Een figuur hier zou handig zijn.

Tentamenvraagstukken

Drukgradiënt - Machtswet - Modder (2) - Pasta - Polymeer - Tandpasta - Vloeistof

Symbolenlijst

Deze symbolenlijst is niet compleet, maar geeft een overzicht van de belangrijkste grootheden.


In de dimensieloze kentallen zoals hier genoteerd staat D voor de diffusiecoëfficiënt, niet voor een diameter.


Bronnen

Clift et al., 1978, Clift R., Grace J.R. & Weber M.E.; Bubbles, Drops, and Particles, Academic Press, New York
Marshak (2005), Marshak, Alex (2005). 3D radiative transfer in cloudy atmospheres (geciteerd op Wikipediaw)
WP2014, http://en.wikipedia.org/wiki/Henry's_Laww
We@Sea 2007w, Energie-eiland, de haalbaarheid van drie verschillende opties van energieopslag voor Nederland, geraadpleegd 19 augustus 2014