Fysische transportverschijnselen
Het vakgebied
fysische transportverschijnselen houdt zich bezig met het transport van
warmte,
massa en
impuls op grote en kleine schaal.
De twee belangrijkste hulpmiddelen zijn
balansvergelijkingen en
transportvergelijkingen.
Dit zijn voorbeelden van "
grootschalige" vragen die je er kunt tegenkomen:
warmte
• Hoe dik moet de isolatielaag van een voorraadvat zijn om de temperatuur binnen vereiste grenzen te houden?
• Hoe snel stijgt de temperatuur in een geroerd vat als er heet water binnenstroomt?
massa
• Hoe snel stijgt de concentratie vervuiling in een regendruppel die door rookgas valt?
• Hoe lang duurt het voordat een laag zout is opgelost in spoelwater?
• Hoe snel daalt de concentratie in een reactor als de invoerstroom uitvalt?
impuls
• Hoe groot is het vermogen dat we maximaal uit de wind kunnen halen?
• Hoe groot is het vermogen dat nodig is om gas uit Groningen naar Delft te pompen?
• Hoeveel energie kunnen we uit een stuwmeer halen waarin het water 100 m boven het dalniveau staat?
Maar ook
in het dagelijks leven kun je er vragen mee beantwoorden:
warmte
• Waarom moet je een brandwond met stromend water koelen en niet in stilstaand water?
• Hoe lang na het inschenken van thee kun je de buitenkant van de mok niet meer vasthouden?
massa
• Waarom ontstaan er belletjes in frisdrank of bier bij het openen van de fles?
• Waarom is het totale oppervlak van de longblaasjes zo groot?
impuls
• Waarom blijft tandpasta op de muur hangen en stroop niet?
• Waarom zakt het waterpeil bij de kade van een Delftse gracht als er een rondvaartboot langs vaart?
• Waarom
dalen de belletjes in een glas Guinness langs de zijwand?
Weerstandskracht
Een schip, een fietser, een lepel in yoghurt, een vlaggenmast: ze ondervinden allemaal een
weerstandskracht bij een snelheidsverschil met het omringende
fluïdumw. Deze kracht is tegengesteld is aan de bewegingsrichting, en afhankelijk van de stofeigenschappen van de vloeistof, de vorm en afmetingen van het voorwerp, en de onderlinge snelheid $v$ van het voorwerp en het fluïdum:
$$F_d = C_d · 1/2 ρ_f v^2 A_\⟘$$
Hierin is
• $C_d$ weerstandscoëfficiënt, die wordt bepaald door de vorm van het voorwerp en de waarde van het getal van Reynolds: $Re = {ρvx}/µ$
• $ρ_f$ de dichtheid van het fluïdum
• $A_\⟘$ het loodrechte oppervlak van het voorwerp
Het getal van Reynolds zullen we vaak tegenkomen.
Het is een van de vele
dimensieloze getallen die gebruikt worden in dit vakgebied.
De waarde van $C_d$ kun je op drie manieren bepalen:
• Voor bollen, cilinders en schijven is $C_d$ als functie van $Re$ gegeven op TPDC-81.
• Voor verschillende andere voorwerpen is $C_d$ gegeven in de tabel op TPDC-79.
• Voor overige voorwerpen (of voor situaties waar TPDC-79+81 geen waardes geven) kan een benadering gemaakt worden op basis van deze figuur en tabel.
Loodrecht oppervlak
Het
loodrechte oppervlak is het "platte" oppervlak zoals dat gezien wordt vanuit de stromingsrichting van het fluïdum.
Voorbeeld: voor een cilinder met lengte $L$ en diameter $D$, waarvan de as loodrecht op de stroming staat, geldt $A_\⟘ = L D$, want dat is het oppervlak van de rechthoek die je ziet als je vanuit de stromingsrichting naar de cilinder kijkt.
Ander voorbeeld: wat is het loodrechte oppervlak van deze Kever?
Hoeveel de vorm en het loodrechte oppervlak uitmaken in de weerstand is mooi te zien in
dit filmpjew over de wielrenner Michael Guerra.
Stationaire eindsnelheid
Een voorwerp dat een andere dichtheid heeft dan het fluïdum waar het zich in bevindt, zal gaan stijgen of dalen. Als de snelheid toeneemt, neemt ook de weerstandskracht $F_d$ toe, totdat deze even groot is als het totaal van de zwaartekracht $F_g$ en de
Archimedeskrachtw $F_A$ die op het voorwerp werken. Daarna geldt:
$$F_d + F_g + F_A = 0,$$
zodat het voorwerp met een constante eindsnelheid $v_t$ beweegt.
Voor
bollen kunnen we deze formule omwerken tot een formule voor de eindsnelheid:
$$v_t = √{{4 (ρ_v - ρ_f) g D }/{3 C_d ρ_f}}$$
Het probleem is dat we $C_d$ nog niet kunnen weten, omdat $v$ nog niet bekend is. In dat geval moeten we
itereren (zie ook figuur 1):
1. Maak een schatting van $C_d$.
2. Bereken met bovenstaande formule de waarde voor $v_t$.
3. Bereken $Re$.
4. Bepaal met TPDC-81 de bijbehorende waarde van $C_d$.
5. Herhaal vanaf (2) totdat $v_t$ niet meer verandert.
Figuur 1. Iteratie voor het bepalen van de stationaire valsnelheid.
Het is ook mogelijk om $v_t$ te schatten, en vervolgens bij stap (3) de iteratie in te gaan. Beide methoden leveren meestal binnen 2 à 3 iteraties een stabiele eindwaarde.
Wanneer een voorwerp nog niet de stationaire eindsnelheid bereikt heeft, is de weerstandskracht nog niet constant. In dat geval is er geen analytische oplossing mogelijk en zullen we een
numerieke methode moeten gebruiken. Dat zullen we later doen.
Waarom beginnen we hiermee?
Met dit onderwerp zijn we midden in de praktijk van dit vak gedoken. We hebben kennisgemaakt met een aantal belangrijke praktische begrippen.
Dimensieloze kentallen worden in dit vakgebied heel vaak gebruikt, omdat ze het mogelijk maken veel situaties te vangen in een enkele grafiek of formule. Ook het onderscheid tussen
laminaire en turbulente stroming zullen we steeds tegengekomen, want veel verschijnselen vertonen een verschillend gedrag in deze twee regimes. We hebben
logaritmische assen afgelezen, en ook die zullen we nogal eens zien, omdat de grootheden vaak vele ordes van grootte kunnen verschillen.
⊕ Etymologie
Het subscript d van $F_d$ en $C_d$ komt uit het Engels:
drag force = weerstandskracht.
Dat geldt ook voor het subscript t in $v_t$:
terminal velocity = eindsnelheid.
⊕ Wrijvings- en vormweerstand
De weerstandskracht is opgebouwd uit twee delen: de wrijvingsweerstand en de vormweerstand. De eerste is klein, en heeft alleen invloed bij lage waarden van $Re$. Bij hogere snelheden is de vormweerstand snel dominant.
Vraagstukken
Meetsonde
Een bolvormige meetsonde (diameter van 10 cm, massa 2,0 kg) hangt aan een touw onder een helikopter en wordt met een snelheid van 1,0 m/s door het water gesleept. De sonde is geheel ondergedompeld.
a. Welke hoek maakt het touw met de verticaal? (Verwaarloos de kracht die door de lucht op het touw wordt uitgeoefend.)
b. Als de snelheid wordt opgevoerd tot 4,0 m/s, wat worden dan $C_D$ en $F_D$?
Anemometer
De windsnelheid wordt vaak gemeten met een anemometer (open halve bolletjes aan een rotortje - zie afbeelding hieronder). Beredeneer op basis van informatie uit TPDC waarom deze meter gaat ronddraaien als er wind staat.
Parachutist
a. Maak een schatting van de topsnelheid die een parachutist zou bereiken zonder parachute.
b. Maak een schatting van de topsnelheid van een parachutist met geopende parachute.
Tentamenvraagstukken
Dikke druppels - Marianentrog - Nuna 6 - Sneeuwvlok - Zwemmer
Laminaire en turbulente stroming
De twee
stromingsregimes, laminaire stroming en turbulente stroming, die we bij de
weerstandskracht zagen, zullen we vaak tegenkomen in deze module. Stromingen gedragen zich zo anders in deze twee regimes, dat ze meestal verschillende behandeling vragen. Bij lage waarden van $Re$ is een stroming laminair, bij hoge waarden turbulent. Het hangt van de geometrie van de stroming af (door een buis, rond een bol, tussen platen, enz.) bij welke waarde van $Re$ het omslagpunt ligt.
Klik hier voor een simulatie van laminaire stroming.w
Gezien op de schaal van de kleinste wervels is trouwens iedere stroming laminair.
Bekijk bijvoorbeeld de wervels in onderstaande simulatie.
Op grotere schaal is de stroming tamelijk willekeurig, maar op microschaal zijn het allemaal afschuivende lagen - en daar wordt de energie
gedissipeerd in de vorm van warmte.
Het gedrag van een turbulente stroming wordt geheel door de fysische vergelijkingen vastgelegd, en zou dus in principe voorspelbaar moeten zijn. De vergelijkingen zijn echter niet-lineair, waardoor zelfs de kleinste afwijkingen van de beginsituatie uiteindelijk gevolgen hebben voor de hele stroming. Een turbulent systeem is dus een
chaotischw systeem.
Volgens een (niet-authentiek) verhaal zou Werner Heisenberg, een van de grondleggers van de quantummechanica, hebben gezegd: "Mocht ik God ontmoeten, dan zal ik hem twee vragen stellen: Waarom relativiteit? En waarom turbulentie? Volgens mij zal hij op de eerste vraag wel een antwoord hebben." (Marshak (2005))
⊕ Etymologie
laminair:
lamina (Latijn) = "dunne plaat, laagje, blad"
turbulent:
turbulentus (Latijn) = "opstandig, stormachtig, verstoord"
Balansvergelijkingen
Een
balansvergelijking beschrijft de verandering van een grootheid in de tijd ten gevolge van in- en uitstromende hoeveelheden van die grootheid en de productie ervan. De algemene vorm van een balans is:
verandering = instroom – uitstroom + productie
ofwel, in formulevorm:
$${dX}/{dt} = Φ_{X, in} - Φ_{X, uit} + P$$
Bij het opstellen van een balans moet je altijd definiëren
over welke variabele de balans wordt opgesteld en
voor welke ruimte (het "controlevolume").
Voorbeelden:
• een
warmtebalans opgesteld over een
collegezaal;
• een balans opgesteld voor de
suikermassa in een
vergistingsvat;
• een
impulsbalans opgesteld over een
spuitmond.
Energie, massa en impuls
In deze module kijken we naar de balansen voor
warmtebalansen,
massabalansen en
impulsbalansen:
$${dq}/{dt} = Φ_{q, in} - Φ_{q, uit} + P_q$$
$${dm}/{dt} = Φ_{m, in} - Φ_{m, uit} + P_m$$
$${dp}/{dt} = Φ_{p, in} - Φ_{p, uit} + P_p$$
In een warmtebalans kunnen de termen bijvoorbeeld staan voor:
• $Φ_{q, in}$ en $Φ_{q, uit}$: de warmte die met ventilatielucht een ruimte respectievelijk in- en uitstroomt;
• $Φ_{q, in}$: de warmte die door geleiding stroomt door de bodem van een pan op het vuur;
• $P_q$: de warmte die ontstaat door een exotherme reactie.
De productieterm kan ook negatief zijn, zoals in het geval van een reactorvat waarin een endotherme reactie optreedt.
Stationaire toestand
Als geen van de variabelen in de vergelijking van waarde verandert, noemen we de toestand
stationair. Een voorbeeld is de massabalans van een voorraadvat voor drinkwater waar gedurende een bepaalde tijd evenveel in- als uitstroomt. Het water in het vat wordt telkens vernieuwd, maar de massa in het vat blijft constant. In dat geval geldt dus:
$${dm}/{dt} = 0$$
ofwel:
$$0 = Φ_{m, in} - Φ_{m, uit} + P_m$$
Hier is sprake van een
dynamisch evenwichtw.
Warmtebalans
Voor de warmte $q$ in een afgebakend volume geldt:
$${dq}/{dt} ={d(ρc_pVT)}/{dt} = ρc_pV{dT}/{dt} = Φ_{q, in} - Φ_{q, uit} + P_q$$
Het tweede gelijkheidsteken geldt als $ρ$, $c_p$ en $V$ constant zijn.
De termen $Φ_{q, in}$ en $Φ_{q, uit}$ staan voor het
warmtetransport, respectievelijk het volume
in en
uit.
De term $P_q$ is de mogelijke productie van warmte
in het volume.
Voor de warmte die met een fluïdum meestroomt, het volume in of uit, kunnen we schrijven: $Φ_q = Φ_vρc_pT$.
Vraagstukken
Woning
Op het middaguur van een zonnige dag komt door een raam op het zuiden 1,0 kW aan zonnestraling een kamer binnen. De kamer heeft een volume van 30 m³, dat als goed gemengd mag worden beschouwd. De omgevingstemperatuur is 20 °C. Door een opening in het raam stroomt buitenlucht naar binnen (50 L/s), terwijl lucht door een deuropening uit de kamer verdwijnt. Verwaarloos de warmtegeleiding door ramen en muren. Wat is in de stationaire situatie de luchttemperatuur in de kamer?
Ventilator
Een apparaat bevat een onderdeel dat een constante warmteafgifte van 100 W heeft. De luchtinhoud van het apparaat is 10 liter. De temperatuur van de lucht ($T$) mag niet boven 45 °C uitkomen, dus is een ventilator aangebracht die de opgewarmde lucht het apparaat uit blaast. Een evengrote volumestroom omgevingslucht ($T_0$ = 20 °C) komt continu door alle openingen het apparaat in. De lucht in het apparaat is goed gemengd.
a. Wat is het minimale volumedebiet van de ventilator?
Op een warme dag wordt door een storing in de luchtverversing van het gebouw $T_0$ in korte tijd 35 °C.
b. Wat wordt in dat geval $T$ na lange tijd, als het apparaat het niet begeeft door de warmte?
Op het moment dat de temperatuur in het apparaat 55 °C geworden is, wordt het warmte¬probleem gesignaleerd en het apparaat uitgeschakeld. De ventilator blijft aan.
c. Na hoeveel tijd is $T$ weer tot onder 45 °C gedaald?
Tentamenvraagstukken
Aceton (1) - Computers - Vat - Wasbak
Transportvergelijkingen
Een
transportvergelijking beschrijft de
flux van een grootheid als functie van een gradiënt. Voor het transport van warmte ($q$), massa ($m$) en impuls ($p$) zijn de bijbehorende vergelijkingen respectievelijk (zie tabel 1 voor de namen van de constanten):
$$φ_{q,x} = -λ {dT}/{dx}$$
$$φ_{m,x} = -D {dC}/{dx}$$
$$φ_{p_z,x} = -µ {dv_z}/{dx}$$
Tabel 1. Namen van de evenredigheidsconstanten.
constante | naam | eenheid |
$λ$ | warmtegeleidingsscoëfficiënt | W/(m·K) |
$D$ | diffusiecoëfficiënt | m²/s |
$µ$ | viscositeit | Pa·s |
Flux, stroom, debiet
De
flux is de hoeveelheid van een grootheid die ergens per seconde
per vierkante meter stroomt (dimensie: [hoeveelheid]·[tijd]
-1·[oppervlak]
-1). Een voorbeeld is de warmteflux berekend met bovenstaande transportvergelijking, in W/m².
Willen we de
stroom van een een grootheid door
een bepaald oppervlak $A$ weten (dimensie: [hoeveelheid]·[tijd]
-1), dan vermenigvuldigen we de flux met het oppervlak. In deze module gebruiken we $φ$ voor de flux van een grootheid en $Φ$ voor de stroom ervan door een bepaald oppervlak. Daarmee is meteen de relatie tussen flux en stroom duidelijk:
$$Φ = A·φ$$
Het
volumedebiet (of kortweg
debiet) is het totale volume dat per seconde stroomt (dimensie: [volume]·[tijd]
-1). Een voorbeeld is het debiet door een waterleiding in m³/s.
De term
massadebiet wordt wel gebruikt voor de totale massa die per seconde stroomt (dimensie: [massa]·[tijd]
-1).
(Elders wordt
flux ook wel gebruikt voor wat we hier
stroom noemen, en
fluxdichtheid voor wat hier
flux heet. Let er in verschillende vakgebieden goed op wat er bedoeld wordt.)
Concentratiegradiënt
Transportvergelijkingen kunnen ook geschreven worden als de flux van een grootheid als functie van de
concentratiegradiënt van diezelfde grootheid.
Voor het transport van warmte ($q$), massa ($m$) en impuls ($p$) zijn de bijbehorende vergelijkingen respectievelijk:
$$φ_{q,x} = -a {d(q/V)}/{dx}$$
$$φ_{m,x} = -D {d(m/V)}/{dx}$$
$$φ_{p_z,x} = -ν {d(p_z/V)}/{dx}$$
De evenredigheidsconstanten hebben allemaal de eenheid m²/s. Zie tabel 2 voor hun namen.
Tabel 2. Namen van de evenredigheidsconstanten met relatie tot andere constanten.
constante | naam | relatie met andere constante |
$a$ | temperatuursvereffeningscoëfficiënt | $a = λ/{ρc_p}$ |
$D$ | diffusiecoëfficiënt | |
$ν$ | kinematische viscositeit | $ν = µ/ρ$ |
Warmtetransport
Warmte kan op drie manieren getransporteerd worden:
•
geleiding: transport door een stilstaande stof;
•
convectie: transport door meevoering met een bewegende stof;
•
stralingw: transport waar geen stof bij nodig is -
dit valt buiten de inhoud van deze module.
Geleiding
Wanneer een voorwerp aan één kant warmer is dan aan de andere kant, bewegen de moleculen in het warme deel sneller dan in het koudere deel. Door overdracht van kinetische energie bij botsingen wordt de energie (warmte) van de warme naar de koude kant getransporteerd. Als de warmte niet aangevuld wordt, koelt de warme kant af en warmt de koude kant op, totdat een homogene temperatuur bereikt is. Wordt de warmte wel aangevuld en blijft de koude kant koud (zoals bij een raam tussen een warme kamer en een koude winterlucht), dan zal er een continu warmtetransport door het voorwerp zijn.
De transportvergelijking voor warmte ($q$) luidt in dit geval (zie ook
transportvergelijkingen):
$$φ_{q,x} = -λ {dT}/{dx}$$
Deze vergelijking wordt de
wet van Fourier genoemd.
Hierin is $λ$ de
warmtegeleidingscoëfficiënt.
Voor de totale warmtestroom door een oppervlak A geldt dan:
$$Φ_{q,x} = A·φ_{q,x} = -Aλ {dT}/{dx}$$
Als het binnenoppervlak van een raam dezelfde temperatuur zou hebben als de lucht in de kamer, en het buitenoppervlak de temperatuur van de buitenlucht, zou de warmtestroom alleen bepaald worden door het temperatuurverschil $ΔT=T_1-T_2$, de dikte van het glas $D$ en de warmtegeleidingscoëfficiënt $λ$ ervan. Zie figuur 2 (a) hieronder, waarin de temperatuur als functie van de plaats is getekend.
Figuur 2. Temperatuur rond een raam: $T_1$ en $T_2$ zijn de binnen- en de buitentemperatuur.
(a) met constante temperatuur aan de randen; (b) met warmteoverdrachtscoëfficiënt; (c) met hogere warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Voor de warmteoverdracht geldt dan, absoluut gezien:
$$Φ_q = A·φ_{q,x} = Aλ {dT}/{dx} = Aλ {ΔT}/D$$
Convectie
In werkelijkheid zal de lucht aan de binnenkant van het raam wat afgekoeld worden (naar $T_A$) – zie figuur 2 (b) – en aan de buitenkant opgewarmd ($T_B$). Daardoor wordt de temperatuurgradiënt
in het glas lager. Aan de binnenkant en aan de buitenkant is er een weerstand tegen warmteoverdracht bijgekomen, die wordt bepaald door de snelheid waarmee de warmte door de lucht wordt afgevoerd. Dit meevoeren van warmte door een fluïdum heet
convectie.
De convectie wordt uitgedrukt door de
warmteoverdrachtscoëfficiënt, $h$. Hoe groter de warmteoverdracht, des te hoger is zal $h$ zijn. Als bijvoorbeeld de wind sterker wordt, wordt $h_2$ hoger, en zal de $T_B$ dalen – zie tekening (c). Voor de luchtlaag aan de binnenkant geldt:
$$Φ_q = A·h_1·(T_1-T_A)$$
Aan de buitenkant geldt:
$$Φ_q = A·h_2·(T_B-T_2)$$
Bovendien weten we voor het glas:
$$Φ_q = Aλ/D (T_A-T_B)$$
Omdat de drie warmtestromen aan elkaar gelijk zijn (het is dezelfde warmte die van binnen naar buiten stroomt), kunnen we de vergelijkingen samenvoegen en omwerken tot de volgende vergelijking:
$$Φ_q = A·1/{1/h_1+D/λ+1/h_2}(T_1-T_2)$$
We kunnen nu een
totale warmteoverdrachtscoëfficiënt $U$ invoeren, waarvoor geldt:
$$U = 1/{1/h_1+D/λ+1/h_2}$$
zodat:
$$Φ_q = A·U·ΔT$$
Zijn er meer lagen, zoals bij dubbel glas of een reactorvat met een isolatielaag om de vatwand, dan geldt algemeen:
$$U = 1/{∑↙i{1/h_i}+∑↙j{D_j/λ_j}$$
In een
later college zullen we zien hoe we $h$ kunnen bepalen, maar we kunnen er al wel mee rekenen.
Vraagstukken
Isolatie
Een houten wand met een dikte van 1,0 cm en een warmtegeleidingscoëfficiënt van 0,2 W/(m·K) wordt voorzien van een isolatielaag (λ = 0,02 W/(m·K)) van 0,50 cm dik.
a. Hoeveel bedraagt de warmtestroom door de twee lagen als de temperatuur aan de buitenzijde van het hout 20 °C is en aan de buitenzijde van de isolatie 10 °C?
b. Hoe hoog is dan de temperatuur op de grens tussen hout en isolatie?
c. Als bekend is dat de warmteoverdrachtscoëfficiënt aan iedere zijde van de wand 10 W/(m²K) is, hoeveel bedraagt dan de warmtestroom door de lagen bij een totaal temperatuurverschil van 10 °C?
Collegezaal
In een collegezaal (volume 1,0·10
4 m³) bevinden zich duizend studenten. De temperatuur in de zaal wordt bepaald door:
• de warmte die door de aanwezigen wordt geproduceerd (100 W per persoon);
• de buitenlucht ($T_0$ = 16°C) die de zaal in wordt geblazen (10 m³/s);
• warmteverliezen door het glas van de ramen.
De ramen hebben een oppervlak van 100 m2, een dikte van 5,0 mm en een warmtegeleidingscoëfficiënt van 0,90 W/(m·K). Aan de binnen- en aan de buitenzijde is de warmteoverdrachtscoëfficiënt 10 W/m²K.
a. Wat is de totale warmteoverdrachtscoëfficiënt van de ramen?
b. Bepaal hoe hoog uiteindelijk (in de stationaire toestand) de temperatuur in de zaal wordt.
Op het moment dat de temperatuur in de zaal 23°C is, verlaat iedereen de zaal voor een pauze van 15 minuten.
c. Wat is de temperatuur in de zaal als de studenten weer terugkomen?
Tentamenvraagstukken
Deksel - Geleiding vs stroming - Glycerol (1)
Instationair warmtetransport
Als de omgevingstemperatuur van een voorwerp verandert, zal ook de temperatuur van het voorwerp gaan veranderen. Als je bijvoorbeeld een ei in kokend water legt, gaat de temperatuur in het ei stijgen. Maar hoe hoger de temperatuur in het ei wordt, des te lager wordt de warmtestroom, want het temperatuurverschil dat de warmteoverdracht veroorzaakt, wordt kleiner. Het warmtetransport is dus
tijdsafhankelijk.
Eenzijdige opwarming: indringdiepte
Wanneer een voorwerp aan één kant in contact komt met een hogere temperatuur, zal warmte het voorwerp gaan indringen. In figuur 3 is het proces getekend: links staat de beginsituatie, met $T_1$ de begintemperatuur van het voorwerp en $T_2$ de temperatuur waarmee het in contact wordt gebracht. In de loop van de tijd (steeds latere tijden $t_1$, $t_2$ enz.) zal de temperatuur in het voorwerp oplopen (rechts).
Figuur 3. Indringing van warmte.
Het effect van de hogere temperatuur zal steeds dieper in het voorwerp merkbaar zijn. Als we een raaklijn tekenen langs de temperatuurkromme bij het oppervlak van het voorwerp, kunnen we bepalen waar deze de lijn van de begintemperatuur ($T_1$) snijdt - zie figuur 4.
Figuur 4. Indringdiepte.
De afstand van het oppervlak tot dit punt wordt steeds groter naarmate het voorwerp verder opwarmt. Deze afstand, de "indringdiepte", kunnen we gebruiken als een maat voor hoever de warmte is ingedrongen. De indringdiepte neemt als volgt toe met de tijd:
$$x_i = √{πat}$$
Hierin is $a$ de
temperatuurvereffeningscoëfficiënt: $a = λ/{ρc_p}$.
Op de plaats van de indringdiepte is de temperatuur toegenomen met 21% van het temperatuurverschil $T_2-T_1$.
Klik hier voor een simulatiew van eenzijdige opwarming (klik op START).
Deze simulatie is geldig totdat de warmte de rechter rand bereikt.
Afkoeling
Als een voorwerp juist aan een
koudere temperatuur $T_2$ wordt blootgesteld, stroomt de warmte het voorwerp
uit. De grafieken zijn dan precies omgekeerd - zie figuur 5 en
deze simulatiew.
Figuur 5. Eenzijdige afkoeling.
Opwarming of afkoeling rondom
Als een voorwerp aan alle kanten aan een andere temperatuur wordt blootgesteld, verandert de temperatuur aan alle kanten. Figuur 6 laat de opwarming zien van een plaat die in een omgeving komt met aan beide oppervlakken (links en rechts in de figuur) een hogere temperatuur.
Figuur 6. Warmte-indringing van twee kanten.
Figuur 6a laat de beginsituatie zien: de plaat heeft begintemperatuur $T_0$, de omgeving heeft temperatuur $T_1$. Figuur 6b toont de temperatuur op opeenvolgende tijdstippen in rood, groen en blauw. Op het moment van de blauwe kromme wordt het effect van de temperatuurstijging ook in het centrum van de plaat merkbaar. Daarna gaat ook de centrumtemperatuur $T_c$ stijgen. Dit is weergegeven in figuur 6c, met achtereenvolgende tijdstippen opnieuw in rood, groen en blauw.
Onderstaande simulaties laten zien dat de snelheid in het begin van het proces (figuur (b) hierboven) veel sneller gaat dan later (figuur (c) hierboven). Dit komt doordat de temperatuurgradiënt aan de rand steeds lager wordt, waardoor de warmtestroom steeds kleiner wordt.
•
Simulatie van tweezijdige opwarming van een vlakke plaatw (klik op START)
•
Simulatie van tweezijdige afkoeling van een vlakke plaatw (klik op START)
Grafische methode
De differentiaalvergelijking voor tijdsafhankelijk warmtetransport binnen voorwerpen, zoals de plaat in het voorbeeld, kan voor simpele geometrieën (bollen, cilinders e.d.) analytisch worden opgelost, maar dit is niet eenvoudig. Door gebruik te maken van dimensieloze groepen kan de oplossing echter voor zeer uiteenlopende situaties in grafieken weergegeven worden: TPDC-91+92.
Deze grafieken geven de
centrumtemperatuur $T_c$ (TPDC-91) en de
gemiddelde temperatuur $⟨T⟩$ (TPDC-92) (zie ook tekening (d) hierboven) als functie van de tijd.
In de grafieken is de tijd dimensieloos gemaakt met de temperatuurvereffeningscoëfficiënt en de karakteristieke afmeting van het voorwerp $d$. Het resultaat is het kental van Fourier, $Fo$:
$${Fo} = {at}/d^2$$
De temperatuur is dimensieloos gemaakt door het verschil tussen de temperatuur in het voorwerp ($T$) en dat van de omgeving ($T_1$) te delen door de waarde van dit temperatuurverschil
aan het begin van het proces ($T_0-T_1$):
$$M = {T – T_1}/{T_0 – T_1}$$
Als we bijvoorbeeld een ei willen koken, moet de temperatuur overal in het ei een bepaalde tijd hoger zijn dan 68 °C, om de eiwitten te laten stollen. Nu zal de temperatuur in het
centrum van het ei het laatst gaan stijgen. We moeten dus weten na hoelang die temperatuur 68 °C geworden is, want dan is de temperatuur in de rest van het ei zéker hoger. We kunnen dus invullen:
• $T_0$ = 20 °C (begintemperatuur van het ei)
• $T_1$ = 100 °C (temperatuur van het kokende water)
• $T$ = 68 °C (centrumtemperatuur waarvoor willen bepalen wanneer deze optreedt)
Er geldt nu dus: $M = {68-100}/{20-100} = 0,4$.
In de grafiek voor de centrumtemperatuur kunnen we nu aflezen bij welke waarde van $Fo$ deze waarde van $M$ optreedt, en daaruit kunnen we de tijdsduur berekenen. De grafieken bevatten geen eivormige voorwerpen, dus we zullen het moeten doen met een bol als modelvoorwerp. Eventueel kunnen we de berekening herhalen met een cilinder, om een idee te krijgen van het verschil.
Voorwaarde
De voorwaarde om de Fourier-grafiek te mogen toepassen, is dat de temperatuur op de
rand van het voorwerp constant moet zijn. In het geval van het ei in het kokende water mogen we dat wel aannemen, want het borrelende water zorgt voor een goede warmteoverdracht.
Blokken en cilinders met H≠D
Voor combinaties van ruimtelijke begrenzingen geldt, dat $M_c$ gelijk is aan het product van de $M_c$’s die horen bij de verschillende ruimtelijke begrenzingen.
Een paar voorbeelden om de voorgaande cryptische zin te verduidelijken:
1. $M_c$ voor een blok met lengte $L$, breedte $B$ en hoogte $H$ is gelijk aan het product van de $M_c$’s voor drie vlakke platen, namelijk met diktes $L$, $B$ en $H$.
2. $M_c$ voor een cilinder met diameter $D$ en lengte $L$ wordt gevonden door $M_c$ voor een oneindig lange cilinder (met diameter $D$) te vermenigvuldigen met $M_c$ voor een vlakke plaat (met dikte $L$).
3. Voor een kubus (waarvan de lijn ook afzonderlijk in de centrum-grafiek gegeven is), zou $M_c$ dus ook berekend kunnen worden uit $M_{c,p}^3$, met $M_{c,p}$ gelijk aan $M_c$ voor een vlakke plaat met een dikte gelijk aan de ribbe van de kubus.
Op dezelfde manier kunnen
gemiddelde temperaturen bepaald worden:
1. in een blok met afmetingen $L$, $B$ en $H$: $〈M〉_{blok}$ = $〈M〉_L〈M〉_B〈M〉_H$;
2. in een cilinder met afmetingen $D$ en $L$: $〈M〉_{cil} = 〈M〉_{cil,D}〈M〉_{plaat,L}$.
Isolatielaag
Met een trucje kunnen we de grafieken ook gebruiken voor doordringing in een laag die aan één zijde geïsoleerd is (zie figuur 7). In de bovenste figuur dringt warmte van links in, en is er aan de rechterkant een isolatielaag. Dan is de afgeleide van het temperatuurprofiel aan de rechterkant nul, want er is geen warmtetransport. In de onderste figuur is linkerhelft gelijk aan die in de bovenste figuur, en is de temperatuurgradiënt op dezelfde positie nul. Voor het warmtetransportproces in het linkerdeel maakt het dus niet uit welke van beide situaties er in werkelijkheid is. We kunnen de bovenste situatie dan ook modelleren zoals de onderste. (Let op: in dat geval moet voor de lengteschaal de nieuwe,
dubbele dikte worden ingevuld.)
Figuur 7. Indringing met isolatielaag (boven): modelleren als dubbele laag met dubbelzijdige indringing (onder).
Vraagstukken
Asbest
"When John entered the empty room, he found a hot iron on an asbestos plate of 1 cm thickness. He lifted the plate which proved still to be cold on the underside. He decided that somebody had been in the room less than 5 minutes ago and ordered his men to search the apartment." [uit: Beek, Muttzall & van Heuven,
Transport Phenomenaw]
Laat zien dat John gelijk heeft.
Spinazie
Conservenblikken met spinazie, met een begintemperatuur van 20 °C, worden in een autoclaaf met stoom van 120 °C gezet om de spinazie te steriliseren. De blikken hebben een diameter en een hoogte van 12 cm. Voor de blikinhoud geldt: $ρ$ = 1200 kg/m³; $λ$ = 0,70 W/m/K; $c_p$ = 4,0 kJ/kg/K. Verwaarloos de warmteweerstand in het metaal ‘blik’ zelf.
a. Schets de temperatuurverdeling in en om het blik op het moment dat de temperatuur in het midden van de blikinhoud net gaat stijgen.
b. Hoe lang moeten de blikken in de autoclaaf staan als alle spinazie een temperatuur van minimaal 110 °C moeten hebben gekregen?
(naar een opgave uit
200 vraagstukken FTw)
Theeglas
In een theeglas, dat een begintemperatuur van 20 °C heeft, wordt thee van 80 °C geschonken. Het glas heeft een dikte van 3,0 mm en een temperatuursvereffeningscoëfficiënt ($a$) van 4,0·10
-6 m²/s. Neem aan dat voor de beginperiode de lucht als een isolator mag worden beschouwd en de temperatuur van de thee niet daalt.
a. Na hoeveel tijd is de temperatuur van de buitenkant van het glas gestegen tot 75 °C? (Dit is de temperatuur die de huid nog net gedurende 4 seconden kan verdragen.)
b. Als de glas twee keer zo dik zou zijn, hoe verandert dan de tijd totdat de buitenkant een bepaalde temperatuur bereikt heeft?
Kubus
Een kubus (inhoud 1,0 liter) koelt af, waarbij de warmteweerstand geheel binnen de kubus ligt. Na een bepaalde tijd is het verschil tussen de temperatuur in het centrum van de kubus en die van de omgeving een factor 10 afgenomen. Als dezelfde hoeveelheid materiaal niet een kubus- maar een bolvorm had gehad, hoeveel langer (in %) zou de afkoeltijd dan geweest zijn?
Tentamenvraagstuk
Bolletje (a en b; c is voor later bij stoftransport) - Boom - Wand
Convectie van warmte
Convectie is transport doordat een fluïdum beweegt.
We kijken eerst naar convectie van
warmte: de warmte wordt meegenomen door het fluïdum.
(Convectie van
stof zal
later aan de orde komen.)
Bij
gedwongen convectie ligt de snelheid van het fluïdum vast. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de gasvlam
onder de bodem van een ketel waarin water verhit wordt: de snelheid van het gas in de vlam bepaalt de snelheid van het warmteoverdrachtsproces.
Bij
vrije convectie wordt de convectie bepaald door de overgedragen warmte. Een voorbeeld is de warmteoverdracht in het water
boven de bodem van dezelfde ketel. Door het contact met het warme oppervlak krijgt het water een hogere temperatuur en daardoor een lagere dichtheid, waardoor dit water zal gaan stijgen. Daardoor wordt er nieuw, kouder water aangevoerd dat in contact komt met de bodem. De stroming wordt dus bepaald door de warmteoverdracht, en warmteoverdracht weer door de stroming.
De warmtestroom bij convectie wordt door deze vergelijking beschreven:
$$Φ_q = hAΔT$$
Waarin $h$ de
warmteoverdrachtscoëfficiënt is (in $W/{m^2K}$), die mede door de stroming wordt bepaald.
Net als in het geval van
instationair warmtetransport, zijn de differentiaalvergelijkingen lastig op te lossen, waardoor $h$ niet analytisch te bepalen is. In dit geval maken we gebruik van dimensieloze
vergelijkingen voor het berekenen van $h$, die zelf voorkomt in het
getal van Nusselt, dat de verhouding van convectieve warmteoverdracht en geleiding uitdrukt:
$$Nu = {hd}/λ$$
TPDC-75/77 geeft een aantal van deze vergelijkingen.
Gedwongen convectie
Bij gedwongen convectie wordt $Nu$ bepaald door twee dimensieloze getallen:
• het getal van Reynolds (verhouding traagheidskrachten en viskeuze krachten):
$$Re = {ρvd}/µ$$
• het getal van Prandtl (verhouding impulstransport en warmtetransport):
$$Pr = {c_pµ}/λ$$
Het overzicht van de vergelijkingen is te vinden in het pdf-document
convectierelatiesw.
De vergelijkingen geven steeds $Nu$ als functie van $Re$ en $Pr$. Daarmee wordt de warmteoverdracht dus gekoppeld aan de stromingseigenschappen en de warmtetransportgrootheden, alles dimensieloos. De vergelijkingen hebben een beperkt toepassingsgebied wat de waarden van $Re$ en $Pr$ betreft - daar moet uiteraard op gecontroleerd worden.
De stofeigenschappen dienen genomen te worden bij de
filmtemperatuur $T_f$: dit is het gemiddelde van de temperatuur van het object ($T_o$) en de temperatuur in het fluïdum op grote afstand ($T_∞$ ): $T_f = {T_o+T_∞}/2$.
Voor een
vlakke plaat is op TPDC-75 de waarde van $Nu$ gegeven
op een afstand $x$
vanaf het begin van de plaat ($Nu_x$). Vaak wil je echter weten hoeveel warmte er
gemiddeld getransporteerd wordt vanaf het begin van de plaat tot een bepaalde plaats. Daarvoor moet je de gegeven formule integreren over de afstand van de rand tot de gegeven plaats. Dat levert op:
$$〈Nu〉_{plaat} = 2·Nu_x = 0,664 · Re^{1/2} · Pr^{1/3}$$
Vrije convectie
Bij vrije convectie wordt $Nu$ ook bepaald door twee dimensieloze getallen:
• het getal van Grashof (verhouding opwaartse kracht en viskeuze krachten):
$$Gr = {d^3gρ^2}/{µ^2}·{Δρ}/〈ρ〉$$
• het getal van Prandtl (zoals bij gedwongen convectie)
Bij het getal van Grashof is het even opletten welke dichtheden moeten worden ingevuld:
• $ρ$ is de dichtheid bij $T_f$
• $Δρ$ is het verschil tussen de dichtheid bij $T_o$ en die bij $T_∞$
• $〈ρ〉$ is het gemiddelde van de dichtheid bij $T_o$ en die bij $T_∞$
Naast de op TPDC-75/77 gegeven formules voor vrije convectie is ook die voor een bol nuttig:
$$〈Nu〉_{bol, vrij} = 2,0$$
Voor vrije convectie tussen twee horizontale vlakke platen in een
stabiele situatie (koud onder, warm boven) geldt:
$$〈Nu〉_{platen, vrij, stabiel} = 1,0$$
⊕ Naamgevers
De kentallen zijn genoemd naar
Wilhelm Nußeltw (1882-1957),
Osbourne Reynoldsw (1842-1912),
Ludwig Prandtlw (1875-1953) en
Franz Grashofw (1826-1893).
Zie ook
Wet van Archimedesw
Vraagstukken
Verwarmingsbuis
Bepaal de warmteoverdracht door vrije convectie rond een horizontale centraleverwarmingsbuis.
Soep
Bepaal de warmteoverdracht boven een lepel soep van 80°C...
a. ... als er geblazen wordt;
b. ... als er
niet geblazen wordt.
Tentamenvraagstuk
Bol - Buizen - Cilinder - Knikker - Platen (1)
Warmtewisselaars
In een
warmtewisselaar wordt warmte van het ene fluïdum naar het andere getransporteerd. In kerncentrales wordt bijvoorbeeld warmte uit water dat in de buurt van de reactor is geweest, overgedragen naar water in een secundaire kringloop, waarmee vervolgens op een veiliger manier elektriciteit wordt opgewekt. In de voedingsmiddelenindustie worden producten opgewarmd of afgekoeld in warmtewisselaars. En in energiezuinige woningen wordt de warmte uit het wegstromende douchewater gebruikt om het binnenkomende water voor te verwarmen.
Figuur 8 laat een eenvoudige versie van de warmtewisselaar zien. Er zijn nog vele andere varianten -
klik hier voor wat voorbeeldenw.
Aan een warmtewisselaar kunnen we in het kader van deze module rekenen met behulp van een
balansvergelijking en een
transportvergelijking.
Balansvergelijking
Onderstaande tekening geeft een warmtewisselaar in
tegenstroom (zie verderop) schematisch weer, met daaronder de temperaturen als functie van de plaats. Fluïdum 1 stroomt daarin van links naar rechts, fluïdum 2 stroomt van rechts naar links.
Figuur 9. Warmtewisselaar in tegenstroom.
Als deze warmtewisselaar in stationaire toestand werkt, is de warmte erbinnen constant. Dan geldt voor de warmtebalans dus:
$${dq}/{dt} = (φ_mc_p)_1(T_{1A} - T_{1B}) + (φ_mc_p)_2(T_{2B} - T_{2A}) = 0$$
Hierin geven subscripts "1" en "2" de verschillende fluïda aan, en "A" en "B" de beide uiteinden van de warmtewisselaar.
Transportvergelijking
De algemene vergelijking zou weer $φ_q = UA·ΔT$ kunnen zijn, maar er is een probleem: $ΔT$ is niet constant over de warmtewisselaar (zie de afbeeldingen). We moeten daarom eigenlijk de warmtestroom integreren tussen plaats A en plaats B. Die integratie valt buiten de inhoud van deze module, maar uiteraard hebben anderen het al gedaan, en kunnen we het resultaat gebruiken. De totale warmtestroom blijkt uit te drukken te zijn in het
logaritmisch gemiddelde temperatuurverschil $ΔT_{lm}$, waarin "lm" staat voor "log mean":
$$ΔT_{lm} ={ΔT_A-ΔT_B}/{ln({ΔT_A}/{ΔT_B})}$$
Let er daarbij op dat "A" en "B" weer staan voor "uiteinde A" en "uiteinde B",
niet voor de twee fluïda.
De warmtestroom is dan:
$$φ_q = UA·ΔT_{lm}$$
Meestroom, tegenstroom
Warmtewisselaars kunnen in mee- en in tegenstroom bedreven worden - zie figuren 10 en 11.
De vergelijkingen zijn voor beide gelijk, maar we moeten goed opletten naar welke locaties de temperaturen in de formules verwijzen.
Bij verder gelijke omstandigheden wordt in een warmtewisselaar in tegenstroom meer warmte overgedragen dan wanneer deze in meestroom gebruikt wordt.
Vraagstukken
Balans
Hoe verandert de balans als de warmtewisselaar in
meestroom werkt?
Curven 1
Waardoor wordt bepaald of de temperaturen in de warmtewisselaar verlopen zoals links of zoals rechts?
Curven 2
Leg van de onderstaande temperatuurcurven uit waarom ze wel of niet mogelijk zijn, en zo ja, of het dan om tegen- of meestroom gaat, en wat je dan kunt zeggen over de fysische eigenschappen van de fluïda.
Olie
Olie met een $c_p$ van 2,0 kJ/kg/K stroomt door een tegenstroom-warmtewisselaar en wordt gekoeld van 394 K naar 339 K. Het debiet bedraagt 7,2 ton/uur. Het koelwater stijgt in temperatuur van 294 K naar 305 K. Het uitwisselend oppervlak A is 5,0 m². Hoeveel bedragen (a) het volumedebiet van het koelwater en (b) de totale warmteoverdrachtscoëfficiënt?
Koeling
Een reactiemengsel met een $c_p$ van 2,85 kJ/kg/K stroomt met een debiet van 2,0 kg/s en moet gekoeld worden van 105°C naar 70°C. Het beschikbare koelwater heeft een temperatuur van 15°C en een een debiet van 1,5 kg/s. De totale warmteoverdrachtscoëfficiënt U bedraagt 0,65 kW/(m²K).
Bepaal (a) de uitlaattemperatuur van het water en (b) het benodigde oppervlak A voor (1) tegenstroom en (2) meestroom.
Tentamenvraagstuk
Glycerol (2) - Olijfolie - Warmtewisselaars - Water en stoom
Grensvlak
Als twee stoffen, A en B, met elkaar in contact zijn, en een derde stof, X, bevindt zich zowel in A als in B, dan zal X zich van de ene stof naar de andere bewegen totdat er een evenwicht optreedt. Maar in tegenstelling tot bij warmte, waar evenwicht betekent dat de temperatuur overal hetzelfde is, hoeft in dit geval in de evenwichtssituatie de concentratie van X in A ($C_A$) niet hetzelfde te zijn als de concentratie van X in B ($C_B$).
Een voorbeeld: water en lucht zijn met elkaar in contact, en in beide bevindt zich zuurstof. De zuurstofconcentratie in lucht is 0,278 kg/m³, maar in het water is deze, als er evenwicht is, slechts 0,0093 kg/m³. Ondanks het concentratieverschil van zuurstof tussen water en lucht, is er bij deze concentraties geen zuurstofstroom. (Er bewegen zich uiteraard wel zuurstofmoleculen van het water naar de lucht en omgekeerd, maar de netto stroom is nul.)
Dit verschijnsel, de mogelijkheid van een concentratieverschil zonder flux, is het belangrijkste verschil tussen stoftransport en warmtetransport. De differentiaalvergelijking die stoftransport beschrijft, heeft dezelfde vorm als die van warmtetransport, dus ook de oplossingen komen overeen. Dat zullen we
hierna zien.
Verdelingscoëfficiënt
Stel dat een stof X zich in evenwicht in twee stoffen A en B bevindt, met concentratie $C_A$ hoger dan $C_B$, zoals in figuur 12a. Wordt $C_B$ nu hoger (12b), dan bevindt er zich dus eigenlijk teveel van X in B. X zal dan van B naar A gaan stromen (12c), dus schijnbaar "tegen het concentratieverschil in".
Maar als we weten dat in evenwicht geldt dat $C_B/C_A = 0,5$, dan kunnen we $C_A$ met deze waarde vermenigvuldigen om een plaatje te krijgen dat wel een continue concentratie laat zien (12d). Deze verhouding van concentraties in evenwicht heet de
verdelingscoëfficiënt, $m$. Met deze coëfficiënt kunnen concentraties aan beide zijden van het grensvlak in elkaar omgerekend worden.
Figuur 12. Concentratie en verdelingscoëfficiënt.
Henry
Hoe bepalen we de verdelingscoëfficiënt? Het probleem is dat we hier steeds te maken hebben met een combinatie van
drie stoffen. Voor veelvoorkomende combinaties zijn wel gegevens te vinden, maar er moeten maar net metingen gedaan én gepubliceerd zijn.
Voor de combinatie van een gas en een vloeistof (zoals in het voorbeeld van zuurstof hierboven) zijn heeft de Brit
William Henryw (1774-1836) in 1803 de volgende wet vastgesteld (WP2014): "At a constant temperature, the amount of a given gas that dissolves in a given type and volume of liquid is directly proportional to the partial pressure of that gas in equilibrium with that liquid." Ofwel:
$$p = H·x$$
waarin
• p de partiële druk van de betreffende stof in de gasfase [Pa]
• x de molfractie van de stof in de vloeistof [mol/mol]
• H de constante van Henry [Pa]
TPDC-137 geeft voor de combinatie van water met tien gassen de constante van Henry bij verschillende temperaturen.
De partiële druk van een gas is de bijdrage van dat gas aan de totale druk. Volgens de ideale gaswet is de partiële druk gelijk aan de volumefractie van het gas in het totale mengsel, vermenigvuldigd met de totale druk. Voor zuurstof in lucht bij standaarddruk geldt dus bijvoorbeeld: $p_z$ = 0,2095·1,0·10
5 Pa.
Meestal hebben we of willen we de concentratie in de vloeistof niet in mol/mol maar in mol/m³ of kg/m³. Dan zullen we dus de omrekening van mol
x/mol
water naar kg/m³ moeten uitvoeren.
De verdelingscoëfficiënt m van een gas x bij een water-lucht-grensvlak (in $({kg}_x/m^3)_L / ({kg}_x/m^3)_W$) kan van de constante van Henry worden afgeleid (met toepassing van pV=nRT):
$$m = 10^{-5}·H·(M_W/M_L)·(ρ_L/ρ_W) = 2,19·10^{-11}·p/T·H$$
waarin $p$ de druk is (in Pa) en $T$ de temperatuur (in K). Deze formule geldt voor concentraties van x waarvoor de dichtheid van het gas-lucht-mengsel niet significant van die van lucht afwijkt.
Aan het grensvlak met een zuivere stof is de concentratie in het aangrenzende medium gelijk aan de verzadigingsconcentratie van die zuivere stof in dat medium. Voor waterdamp in lucht direct boven een water- of ijsoppervlak is de partiële druk gelijk aan de dampspanning (TPDC-107-112).
Vraagstukken
Methaan
De onderste laag van de atmosfeer bevat 2,2·10
-4 volumeprocent methaan.
Hoeveel bedraagt de methaanconcentratie in water die hiermee in evenwicht is (in kg/m³)?
Massatransport (diffusie en convectie)
Zoals er bij warmte sprake is van transport dóór een stof heen (geleiding) en met een stof mee (convectie) is er bij massa (stof, materie) sprake van
diffusie (door een andere stof heen bewegend) en
convectie (met een andere stof meegevoerd).
Diffusie
Wanneer een stof zich in een andere stof bevindt, zoals zuurstof die is opgelost in water, of methaan in lucht, kan deze door de omringende stof heen bewegen. Deze beweging heet
diffusie. Is er dan een concentratieverschil, dan zal de stof door dit proces van de hoge naar de lage concentratie stromen.
De transportvergelijking voor massa ($m$) luidt (zie
transportvergelijkingen):
$$φ_{m,x} = -D {dC}/{dx}$$
Hierin is $D$ de
diffusiecoëfficiënt (eenheid: m²/s).
De diffusiecoëfficiënt is een stofeigenschap van een
combinatie van twee stoffen, waarbij één van de stoffen in relatief lage concentratie in de ander voorkomt. In gassen verloopt het diffusieproces veel sneller dan in vloeistoffen, en daarin weer sneller dan in vaste stoffen. Er zijn combinaties van stoffen waarvan de diffusiecoëfficiënt voor alle praktische toepassingen gelijk is aan nul. Een aantal waarden voor $D$ zijn te vinden op TPDC-135/136.
Bij diffusie "stroomt" massa van een plaats met een hoge concentratie naar een plaats met een lage concentratie. Dat gaat eigenlijk "vanzelf", door de willekeurige bewegingen van de moleculen. Hieronder staat een simulatie van diffusie, waarin de moleculen willekeurig bewegen, waardoor de stof over het hele volume verdeeld wordt.
Klik hier voor een simulatie van diffusie.w
Als er een concentratieverschil $ΔC$ optreedt over een afstand d, leidt dit, analoog aan het geval van warmte tot een stofstroom:
$$Φ_m = A·φ_{m,x} = AD {dC}/{dx} = AD {ΔC}/d$$
Convectie
Bij stroming langs een wand zal er stof meegevoerd kunnen worden door
convectie. Ook hier lijken de formules op die van warmteoverdracht:
$$Φ_m = A·k·(C_1-C_2) = A k ΔC$$
We zullen
later zien hoe we $k$ kunnen berekenen.
Zowel bij diffusie als bij convectie moeten we er goed op letten dat we de concentratieverschillen nemen
in de stof waarin we het transport bekijken. Voor diffusie van geurstof uit een bolletje is dat het concentratieverschil
binnen het bolletje voor de diffusie, maar het concetratieverschil
in de lucht voor de convectie door de lucht.
⊕ Hierdoor wordt het lastig om met een
totale stofoverdrachtscoëfficiënt te werken, zoals de totale warmteoverdrachtscoëfficiënt $U$ bij warmte. Het is te doen, maar we moeten rekening houden met de verdelingscoëfficiënt bij het
grensvlak. Dit valt buiten de inhoud van deze module.
Vraagstukken
Zuurstof
Aan één uiteinde van een buisje dat met water gevuld is, bedraagt de zuurstofconcentratie in het water 15·10
-4 mol/L, aan het andere uiteinde 5,0·10
-4 mol/L. Het buisje heeft een lengte van 3,0 cm en een diameter van 3,0 mm. Hoeveel bedraagt de totale zuurstofstroom door het water in het buisje?
Koolstofdioxide
Een horizontaal buisje met een lengte van 5,0 cm en een diameter van 2,0 mm is gevuld met water. Aan één uiteinde bevindt het zich in zuiver kooldioxide. Langs het andere uiteinde stroomt continu zuivere stikstof. Hoeveel CO
2 diffundeert per seconde door het buisje?
Tank
Op de bodem van een tank ligt een laag zout van 100 kg. Het grondoppervlak van de tank is 0,50 m². Op de zoutlaag staat een laag water van 1,0 m. De verzadigingsconcentratie van het zout in water is 300 kg/m³. Er wordt geroerd, waardoor de stofoverdrachtscoëfficiënt op het water-zout-grensvlak gelijk is aan 1,0·10
-3 m/s. Hoe lang duurt het voordat al het zout is opgelost?
(naar een opgave uit
200 vraagstukken FTw)
Tentamenvraagstukken
Diffusie vs stroming - Kristallen - Helium - Stikstof
Massabalans
Voor de massa $m$ in een afgebakend volume geldt:
$${dm}/{dt} = Φ_{m, in} - Φ_{m, uit} + P_m$$
De termen $Φ_{m, in}$ en $Φ_{m, uit}$ staan voor het
stoftransport, respectievelijk het volume
in en
uit.
De term $P_m$ is de mogelijke productie van massa
in het volume. Massa kan niet uit niets ontstaan (behalve onder bijzondere omstandigheden, volgens $E = mc^2$). Wanneer de balans wordt opgesteld over de
totale massa, is $P_m$ dus nul. Maar de balans kan ook worden opgesteld voor een bepaalde
stof, bijvoorbeeld "suiker in een plant", en dan heeft deze stof wel een productieterm.
Het linkerlid van de vergelijking kunnen we op verschillende manieren herschijven, afhankelijk van hoe de
concentratie is gedefinieerd:
• als de concentratie $C$ gegeven is
per volume-eenheid (dus in kg/m³): ${dm}/{dt} = {d(CV)}/{dt}$;
• als de concentratie $C$ gegeven is
per massa-eenheid (kg/kg): ${dm}/{dt} = {d(CM)}/{dt}$,
waarin $m$ staat voor de massa van de stof waarin we geïnteresseerd zijn, en $M$ voor de
totale massa in het volume.
Om dezelfde reden moeten we de massastroom $Φ_m$ op verschillende manieren bepalen:
• als de concentratie $C$ gegeven is per
volume-eenheid: $Φ_m = Φ_vC$;
• als de concentratie $C$ gegeven is per
massa-eenheid: $Φ_m = Φ_MC$.
Verblijftijd
De
gemiddelde verblijftijd van een stof in een ruimte bedraagt:
$$τ=V/Φ_v$$
Vraagstukken
Alcohol
Een goed geroerd voorraadvat bevat 10 ton water met een alcoholfractie van 5,0% op massabasis. Vanaf t = 0 stroomt een constante hoeveelheid van 50 kg/s schoon water het vat in, en stroomt op een ander punt 50 kg/s vatinhoud weg. De totale inhoud van het vat blijft 10 ton. Bereken de tijd die verstrijkt voordat de alcohol-concentratie gedaald is tot 1,0%(m).
Natronloog
Natronloog met een natriumhydroxideconcentratie $C_0$ stroomt met een volumedebiet $Φ_v$ door een perfect geroerd vat dat een volume V heeft. De toestand is stationair, dus de NaOH-concentratie in het vat is ook gelijk aan $C_0$. Vanaf tijdstip t = 0 wordt, naast de eerste stroom, een tweede stroom door het vat geleid met een debiet gelijk aan 0,50·$Φ_v$ en een NaOH-concentratie 2,0·$C_0$. Gedurende het hele proces blijft het vat geheel gevuld.
a. Stel een massabalans op voor het natriumhydroxide in het vat.
b. Bepaal het verloop van de NaOH-concentratie in het vat als functie van de tijd. Vermeld de gebruikte randvoorwaarde(n).
c. Hoe groot wordt de NaOH-concentratie in het vat na lange tijd?
Zout
Een vat bevat 500 kg zoutoplossing met een zoutconcentratie van 10%. Vanaf t = 0 stroomt een 20%-zoutoplossing het vat binnen met een massadebiet van 10 kg/h, en verlaat 5,0 kg/h vatinhoud het vat. Het vat is goed geroerd.
a. Stel de massabalans op voor het zout in het vat.
b. Hoe verandert de zoutconcentratie van het vat als functie van de tijd?
Tentamenvraagstukken
Eencelligen - Spoelen - X
Instationair stoftransport
De differentiaalvergelijkingen (balansvergelijking, transportvergelijking) die gelden voor
instationair stoftransport lijken heel erg op die voor
instationair warmtetransport. Het is dan ook niet gek dat de oplossingen ervan voor veel situaties ook heel erg op die voor warmtetransport lijken.
Het enige waar we goed op moeten letten, zijn de randvoorwaarden die we gebruiken. Bij warmtetransport is de grootheid die we gebruiken continu in de plaats: de functie vertoont geen sprongen. We hebben gezien dat dit bij stofoverdracht
anders is.
In figuur 13 zien we wat dat betekent: de concentratie van stof X is links van het grensvlak (in stof A) niet gelijk aan rechts van het grensvlak (in stof B). Wanneer in evenwicht geldt dat de concentratie van stof X in stof B m (de verdelingsconstante) keer de concentratie in stof A is, wordt de concentratie in stof B op de grens met stof A gelijk aan $mC_2$ als de concentratie erbuiten $C_2$ is.
Zoals bij opwarming, kunnen we hier spreken van een indringdiepte, waarbij de diffusiecoëfficiënt D de plaats van de warmtevereffeningscoëfficiënt a inneemt:
$$x_i = √{πDt}$$
Figuur 13. Indringdiepte.
Figuur 14 laat diffusie van beide kanten zien. Hiervoor kunnen we dezelfde figuren gebruiken als opwarming (of afkoeling) van twee kanten: de Fourier-grafieken op TPDC-91+92, met:
$${Fo} = {Dt}/d^2$$
$$M = {C – C_1}/{C_0 – C_1}$$
Daarbij moeten we, zoals al gezegd, goed opletten dat we voor de concentratie aan de rand de concentratie
binnen het voorwerp nemen.
Figuur 14. Indringing van stof van twee kanten.
De simulaties van
eenzijdige indringingw,
tweezijdige indringingw en
tweezijdig wegstromenw die bij
instationaire warmteoverdracht stonden, kunnen dus ook gebruikt worden om het diffusieproces te illustreren.
Opmerking 1: De verdelingscoëfficiënt m kan ook andersom gedefinieerd zijn (namelijk als de concentratie
buiten het voorwerp gedeeld door die
binnen het voorwerp in evenwicht). In dat geval moet uiteraard juist door m
gedeeld worden om de concentratie aan de binnenkant te krijgen.
Opmerking 2: Een bijzonder geval is het als we mogen aannemen dat de concentratie buiten het voorwerp verwaarloosbaar klein is. In dat geval is de concentratie binnen het voorwerp natuurlijk ook nul, onafhankelijk van de waarde van m.
Opmerking 3: Analoog aan de situatie bij warmteoverdracht is de voorwaarde om de Fourier-grafiek te mogen toepassen dat de concentratie op de rand van het voorwerp constant moet zijn.
Vraagstukken
Cilinder
Een lange kunststof cilinder (diameter $d$ = 1,0 cm) bevat een weekmaker die in de kunststof een diffusiecoëfficiënt $D$ van 0,20·10
-9 m²/s heeft. De uniforme beginconcentratie van de weekmaker is $C_0$. De cilinder staat in een oplosmiddel waarin de concentratie van de weekmaker verwaarloosbaar is.
a. Na hoelang is de gemiddelde concentratie van de weekmaker in de cilinder 0,10·$C_0$?
b. Wat is op dat moment de concentratie op de as van de cilinder, uitgedrukt in $C_0$?
Gips
Op een laagje gips (calciumsulfaat) in een bakje wordt een laagje schoon water gegoten van 5,0 cm diep. De verzadigingsconcentratie van het gips in water is 2,4 kg/m³. Hoelang duurt het, voordat aan het wateroppervlak de concentratie 2,0 kg/m³ is?
Regendruppel
Een vallende regendruppel (diameter $d$ = 2,0 mm) bevat op tijdstip t = 0 geen stikstofoxide, maar valt daarna door lucht die wel stikstofoxide bevat. De N
2O-concentratie in het water aan het oppervlak wordt daardoor 1,0 g/L.
a. Na hoeveel tijd is de N
2O-concentratie in het centrum van de druppel gestegen tot 0,9 g/L, als we aannemen dat de weerstand tegen stofoverdracht geheel in de druppel ligt?
b. Hoeveel stikstofoxide is er op dat moment in de druppel aanwezig?
c. Als de druppel een diameter van 1,0 mm gehad zou hebben, hoeveel stikstofoxide zou er op dat moment in de druppel aanwezig zijn op het moment dat de concentratie in het middelpunt 0,9 g/L bedraagt?
Viltstifttekst
Op een skippybal is een tekst aangebracht met viltstift. De lijnbreedte is direct na het aanbrengen 1,0 mm. Na een jaar blijkt de lijn vager te zijn geworden en ongeveer twee keer zo breed. Maak een schatting van de diffusiecoëfficiënt van de inkt in het plastic van de bal.
Tentamenvraagstukken
Benzeen (1) - Druppel - Ethyn, a.k.a. acetyleen - Microcapsules - N
2 & O
2 (1) - Solvine
Convectie van massa
Convectie van massa is het transport van materie doordat een fluïdum beweegt: de stof wordt meegenomen door het fluïdum.
Bij
gedwongen convectie ligt de snelheid van het fluïdum vast. Dit is bijvoorbeeld het geval bij het oplossen van een suikerklontje op de bodem van een kopje thee waarin geroerd wordt: de snelheid van het lepeltje bepaalt de snelheid van de stromende thee, en deze bepaalt weer de snelheid van het oplossen.
Bij
vrije convectie wordt de convectie bepaald door de overgedragen materie. Een voorbeeld is het oplossen van een suikerklontje dat net onder het oppervlak van een kopje stilstaande thee gehouden wordt. Door het oplossen van een beetje suiker krijgt de thee vlak onder het klontje een hogere dichtheid, waardoor deze thee naar beneden zal zakken. Daardoor wordt er nieuwe thee aangevoerd waarin de suiker weer kan oplossen. De stroming wordt dus bepaald door het oplossen, en het oplossen weer door de stroming.
De behandeling van convectie van massa lijkt sterk op die van
warmte, die we
eerder zijn tegengekomen.
De plaats die
Nu en
Pr hadden bij convectie van warmte, wordt nu ingenomen door respectievelijk:
• het getal van Sherwood (verhouding convectie en diffusie):
$$Sh = {kd}/D$$
• het getal van Schmidt (stofeigenschappen):
$$Sc = {µ}/{ρD}$$
Tabel 3 geeft de relatie tussen convectie van warmte en die van massa weer.
Tabel 3. Relatie tussen convectie van warmte en convectie van massa.
grootheid | gedwongen convectie | vrije convectie |
warmte | Nu = f (Re, Pr) | Nu = f (Gr, Pr) |
massa | Sh = f (Re, Sc) | Sh = f (Gr, Sc) |
Het overzicht van de vergelijkingen is weer te vinden in het pdf-document
convectierelatiesw.
Zie ook
Wet van Archimedesw
Vraagstukken
Maanbasis
Een suikerklontje dat in een glas water hangt, lost in twee uur op door vrije convectie. Maak een beredeneerde schatting van hoe lang dit proces ongeveer zou duren wanneer dit in een maanbasis zou worden uitgevoerd (onder overigens gelijke condities als temperatuur, druk, enz.).
(In het dictaat staan nog andere evenredigheden - daar mag uiteraard ook naar verwezen worden.)
Zoutblok
Een blok keukenzout van 500 g (lengte 20 cm, breedte 10 cm) ligt in een stroming van zoet water. De verzadigingsconcentratie van zout in water is 359 kg/m³. Hoelang duurt het voordat het blok is opgelost? (Beschouw alleen het oplossen aan de bovenkant.)
Belletje
Een belletje kooldioxide (diameter 1,0 mm) stijgt op in schoon water met een stijgsnelheid van 20 cm/s. De oplosbaarheid van CO
2 in water is 4,0·10
-2 mol/L. Hoeveel bedraagt de stofstroom?
Tentamenvraagstukken
Benzeen (2) - Diffonal™ - Klontje - N
2 & O
2 (2) - Zoet
Numerieke methoden
In deze module maken we vooral gebruik van methoden die ontwikkeld zijn vóór de opkomst van de computer in dit vakgebied. Met deze methoden kunnen we voor veel situaties realistische berekeningen uitvoeren, en ze geven ook inzicht in en gevoel voor de processen die optreden.
Wanneer de systemen complexer worden, gelden de voorwaarden waaronder deze methoden mogen worden toegepast meestal niet meer. Sinds de komst van de computer zijn op alle deelgebieden van het vakgebied de toepassingsmogelijkheden en het inzicht in de processen enorm toegenomen.
We zullen hier twee eenvoudige voorbeelden bekijken van hoe de modelvergelijkingen kunnen worden vertaald naar een numeriek model.
Vallend voorwerp
Met de theorie van deze module kunnen we de kracht berekenen op een voorwerp dat zich met een bepaalde snelheid door een fluïdum beweegt, of de eindsnelheid van een voorwerp dat door een fluïdum valt. Maar hoe snel bereikt zo'n voorwerp die eindsnelheid? Als we dat willen weten, moeten we een dynamisch model maken, waarin de wrijvingskracht op het voorwerp snelheids-, en dus tijdsafhankelijk is.
Voor de totale kracht $F_{tot}$ op zo'n voorwerp geldt op ieder moment:
$$F_{tot} = F_g + F_A + F_d$$
waarin $F_g$ de zwaartekracht is (= $-m·g$), $F_A$ de
Archimedeskrachtw, en $F_d$ de
weerstandskracht. Daarnaast weten we dat deze totale kracht evenredig is met de versnelling van het voorwerp:
$$F_{tot} = m·a$$
Zo kunnen we op ieder moment de versnelling bepalen - mits we de weerstandscoëfficiënt weten, natuurlijk, en daarover hebben we tot nu toe alleen informatie in de vorm van een tabel of grafiek in TPDC. Met een relatie in formulevorm kunnen we een numeriek model opstellen. Voor bollen zijn veel formules afgeleid, maar onderstaande formule geeft een redelijke benadering (-4 tot +6%) en is niet al te onhandelbaar (Clift et al., 1978):
$$C_d = {24}/{Re} + {3,6}/{Re^{0,313}}+{0,42}/{1+42500Re^{-1,16}}$$
Bovenstaande formules kunnen we gebruiken in de volgende differentievergelijkingen:
$${∆v}/{∆t} = {F_{tot}/m}$$
$${∆s}/{∆t} = ∆v$$
Wanneer een voorwerp door een vloeistof valt (of erin opstijgt), moet ook een deel van de vloeistof verplaatst en dus versneld worden, waardoor de versnelling bij dezelfde kracht lager is. Voor een bol geldt dan dat voor het berekenen van de versnelling een virtuele massa gebruikt moet worden (zie ook
Wikipediaw):
$$m_{virt} = ρ_{bol}·V + ρ_{fluïdum}·V/2$$
Het is dus eigenlijk alsof een volume van het fluïdum gelijk aan
de helft van het volume van de bol mee-versneld moet worden.
Opwarming van een plaat
Wanneer een vlakke plaat aan veranderende temperaturen aan de beide oppervlakken wordt blootgesteld, gaat er warmte stromen. Voor symmetrische situaties (aan beide oppervlakken verandert de temperatuur evenveel) kunnen we inmiddels
berekenen hoe de doorwarming verloopt. Als de temperaturen
niet symmetrisch verandert, of als de randtemperaturen tijdens het doorwarmingsproces blijven veranderen, kunnen we dat met onze methode niet aan. Dat gaan we hier numeriek benaderen.
We delen de plaat in dunne plakjes met dikte dx, parallel aan de twee oppervlakken (zie figuur 15).
Figuur 15. Numerieke modellering van geleiding.
We gaan er voor de balansvergelijking van uit dat de temperatuur
binnen een plakje overal gelijk is. Voor het i-de plakje geldt dan:
$${dq}/{dt} = ρc_pV{dT}/{dt} = ρc_pdx·HB{dT}/{dt} = ∑Φ_q= -λHB({dT}/{dx})_L+λHB({dT}/{dx})_R$$
waarin $H$ de hoogte van de plaat en $B$ de breedte (loodrecht op de tekening) ervan voorstellen, en de subscripts $L$ en $R$ respectievelijk "links" en "rechts". Van deze vergelijking kunnen we de volgende differentievergelijking maken, als we aannemen dat het transport bepaald wordt door het temperatuurverschil tussen de plakjes, werkend over de afstand Δx:
$$ρc_pΔx{ΔT}/{Δt} = -λ{T_{i}-T_{i-1}}/{Δx}+λ{T_{i+1}-T_i}/{Δx} = λ{T_{i-1}-2T_i+T_{i+1}}/{Δx}$$
(in deze vergelijking is meteen HB weggedeeld).
Voor de temperatuurverandering ΔT in een tijdstap Δt krijgen we dus:
$$ΔT = {λ/{ρc_p}} · {T_{i-1}-2T_i+T_{i+1}}/{Δx}^2Δt$$
Deze methode heet de
Forward Time, Centered Space (
FTCS) methode.
De simulatie waarvan je al eerder voorbeelden zag (bij
instationair warmte- en
stoftransport), is gemaakt op basis van bovenstaande formule. In de simulatie (
klik hierw) kun je de temperaturen links en rechts én in het midden tijdens de simulatie aanpassen, zodat je het effect meteen kunt zien.
In numerieke simulaties mag de tijdstap niet te groot zijn. De numerieke oplossing van de simulatie hierboven is alleen stabiel als
$${λ}/{ρc_p}Δt < 1/2{Δx}^2$$
Wat er dan gebeurt als dit niet het geval is, kun je
hierw zien. Dit betekent, dat we bij dunnere plakjes (dus voor een in de plaats nauwkeuriger simulatie) de tijdstap kleiner moet maken.
⊕ FTCS?
De FTCS-methode heet zo omdat er gebruik wordt gemaakt van de
voorwaartse Euler-methode in de
tijd, en van de
centrale-differentie-methode in de
plaats.
Vraagstukken
Raam
Een kamer waar het 15,0 °C is, heeft een raam met een dikte van 7,0 mm. Buiten is het 10,0 °C. We nemen aan dat de temperatuur van het glas aan beide zijden steeds gelijk is aan de luchttemperatuur daar.
a. Hoeveel bedraagt de temperatuur in het midden van het glas?
De temperatuur in de kamer wordt in korte tijd opgestookt tot 20 °C, waardoor het glas gaat opwarmen. Op een bepaald moment is de temperatuur in het midden van het glas 13,1 °C geworden. De temperaturen op 1,0 mm afstand van het midden zijn 14,4 °C (aan de kamerzijde) en 12,1 °C. Het glas heeft een temperatuurvereffeningscoëfficiënt van 5,0·10
-7 m²/s.
b. Hoe groot mag de tijdstap maximaal zijn als we met deze gegevens volgens bovenstaande methode de temperatuur op de volgende tijdstap willen berekenen?
c. Hoeveel bedraagt de temperatuur in het centrum volgens deze methode na 1,0 s?
Mechanische-energiebalans
Over een systeem waardoor een fluïdum stroomt, kunnen we een balans opstellen voor de mechanische energie:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2v_1^2 + gz_1 + p_1/ρ) - Φ_m(1/2v_2^2 + gz_2 + p_2/ρ) + Φ_w - Φ_f$$
waarin:
• $Φ_m(1/2v_1^2 + gz_1 + p_1/ρ)$ de instromende mechanische energie (resp. kinetische energie, zwaarte-energie, energie ten gevolge van druk)
• $Φ_m(1/2v_2^2 + gz_2 + p_2/ρ)$ de uitstromende mechanische energie
• $Φ_w$ de op het systeem verrichte arbeid (dan wel de door het systeem verrichte arbeid: de term is dan negatief)
• $Φ_f$ de mechanische energie die door wrijving verloren gaat in de vorm van warmte
Is de toestand stationair, dan geldt natuurlijk weer ${dE_m}/{dt} =0$.
De vergelijking kan worden omgeschreven tot:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$
We zullen
eerst systemen bekijken waarin geen arbeid op of door het systeem wordt verricht (dus $Φ_w$ = 0) en de wrijving verwaarloosbaar is (dus $Φ_f$ = 0).
Daarna zullen we arbeid en wrijving toevoegen.
De wet van Bernoulli
De complete
mechanische-energiebalans luidt:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$
In veel systemen geldt:
• er is geen uitwisseling van arbeid met de omgeving, dus $Φ_w$ = 0;
• de wrijving is verwaarloosbaar, dus $Φ_f$ = 0.
In dat geval kan de mechanische-energiebalans voor stationaire situaties dus vereenvoudigd worden tot:
$$1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ =0$$
Het principe achter deze vergelijking werd door Daniël Bernoulli in 1738 geformuleerd in zijn boek
Hydrodynamica, en staat bekend als de
wet van Bernoulli.
De keuze van de posities 1 en 2, waartussen de vergelijking toegepast gaat worden toegepast, is van groot belang.
De vergelijking geldt in het algemeen langs een hele
stroomlijn: de lijn die gevormd wordt als je met een deeltje in de stroming meereist. Omdat bovenstaande vergelijking tussen
alle punten op de stroomlijn moet gelden, kunnen we ook schrijven:
$$1/2v^2 + gz + p/ρ = constant$$
Met deze vergelijking kunnen we bijvoorbeeld uitrekenen met welke snelheid een vloeistof uit een vat stroomt. Zie hiervoor het vraagstuk
Wijnvat. Daarbij moeten we er nog wel rekening mee houden dat een vloeistof die uit een gat spuit, nog wat verder samentrekt (zie figuur 16). Dit verschijnsel heet
vena contracta (letterlijk "samengetrokken ader") - zie figuur 17.
Figuur 16. Contractie in een vloeistofstraal.
Voor hoge stroomsnelheden uit openingen met scherpe randen kan voor de
oppervlakteverhouding van de kleinste doorsnede en de doorsnede van de opening de waarde 0,62 genomen worden:
$$A_{vc}/A_o = 0,62$$
De druk in de vloeistof is pas gelijk aan de omgevingsdruk op de plaats waar de kleinste doorsnede bereikt wordt.
⊕ Daniël Bernoulli
Daniël Bernoulli werd in februari 1700 geboren in Groningen en overleed in 1782 in Basel.
Behalve met vloeistofmechanica heeft hij zich beziggehouden met o.a. astronomie en fysica.
Zijn naam wordt uitgesproken als "ber-
noe-lie" (dus niet als "ber-noe-
jie", wat vaak gedacht wordt).
Vraagstukken
Wijnvat
Een wijnvat stroomt leeg door een gaatje van 1,0 cm diameter. Het gaatje bevindt zich 70 cm onder het beginniveau van de wijn. Het wijnvat kan worden opgevat als een cilinder die op de platte kant staat. De diameter van het vat is 80 cm.
a. Met welk volumedebiet stroomt de wijn in het begin?
b. Hoe lang duurt het voordat alle wijn boven het gaatje uit het vat is gestroomd?
Boomstam
Op de bodem van een beek ligt een boomstam (diameter 25 cm) overdwars. De beek heeft een diepte van 1,0 m en een stroomsnelheid (praktisch vlak snelheidsprofiel) van 1,0 m/s.
a. Ga ervan uit dat het wateroppervlak geheel vlak is. Welke stroomsnelheid heeft het water dan bij punt 2, midden boven de boomstam?
Als nog steeds wordt aangenomen dat het wateroppervlak geheel vlak is, heerst er in het water aan het oppervlak bij punt 2 een andere druk dan elders in de beek (bij 1).
b. Wat is het drukverschil tussen punt 1 en punt 2?
Door het drukverschil zal het wateroppervlak van plaats veranderen tot de drukken weer gelijk zijn.
c. Wat is het hoogteverschil tussen het oppervlak bij punt 1 en punt 2? Waar staat het water het hoogst?
d. Is de aanname van een vlak wateroppervlak voor de berekening van de snelheid boven de boomstam gerechtvaardigd?
Rondvaartboot
Een Delftse gracht is op een bepaalde plaats 4,0 m breed ($B_g$) en 1,4 m diep ($D_g$). Een rondvaartboot, die een diepgang $D_b$ heeft van 1,0 m en een breedte $B_b$ van 2,9 m, vaart hierin met een snelheid $v_b$ van 5,0 km/u. We modelleren de rondvaartboot als een rechthoekig blok.
a. Laat zien dat voor de watersnelheid $v_w$ langs de boot naar achteren geldt: $v_w = {v_bB_bD_b} / {B_gD_g – B_bD_b}$.
b. Hoeveel verandert de hoogte van de waterspiegel terwijl de boot langsvaart? Is dat omhoog, of omlaag?
Tentamenvraagstukken
Boeing - Drinkwater - Piramidebak
Windenergie
Kijk voor dit onderwerp uiteraard terug naar
de eerstejaarsmodulew.
Een windturbine haalt energie uit de stromende wind. Als we naar de
mechanische-energiebalans kijken,
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$
dan zien we dat daar enkele termen gelijk zijn aan nul. Want als we langs een stroomlijn met de lucht meereizen, geldt:
• de druk ver vóór de windturbine is gelijk aan de druk ver achter de windturbine ($p_1 = p_2 = p_0$);
• de hoogte van de stroomlijnen gemiddeld is vóór de turbine gelijk aan erachter ($z_1 - z_2$ ≈ 0);
• er is nauwelijks wrijving ($Φ_f$ = 0).
Bovendien is de toestand stationair, dus $dE_m$/$dt$ = 0.
We houden dus over:
$$0 = Φ_m1/2(v_1^2-v_2^2) + Φ_w$$
Het vermogen aan mechanische energie dat uit de wind gehaald wordt, $P_m = -Φ_w$, moet dus geheel uit een snelheidsverlaging van de lucht komen:
$$P_m = Φ_m1/2(v_1^2-v_2^2)=Aρ1/2(v_1+v_2)1/2(v_1^2-v_2^2)$$
waarin $A$ het oppervlak is dat door de rotorbladen wordt bestreken. Dit kunnen we omwerken naar:
$$P_m = 1/4Aρv_3^3\{{1-({v_2}/{v_1})^2+{v_2}/{v_1}-({v_2}/{v_1})^3}\}$$
De term binnen accolades heeft een maximum bij $x={v_2}/{v_1}=1/3$, zoals we kunnen vaststellen op basis van de afgeleide, en ook te zien is in figuur 18.
Figuur 18. Relatieve opbrengst windturbine als functie van ${v_2}/{v_1}$. (bron: Wikimedia Commons)
Daarmee kunnen we het theoretisch maximaal te behalen vermogen vaststellen:
$$P_{th} = {16}/{27}·1/2·ρ·v_1^3A$$
ofwel 16/27 ≈ 0,593 van het vermogen aan kinetische energie van de wind die door het oppervlak A stroomt (dit is de
wet van Betzw).
Voor een werkelijke situatie kunnen we schrijven:
$$P = 1/2 C_pρv_w^3A$$
waarin $C_p$ de
prestatiecoëfficiënt is (die dus maximaal 0,593 kan bedragen), en A het door de turbinebladen bestreken oppervlak ($πr^2$ voor bladen met lengte $r$). De prestatiecoëfficiënt is eigenlijk ook nog afhankelijk van de windsnelheid, maar dit valt buiten de inhoud van deze module.
Weibull-verdeling
Het is een open deur om te zeggen dat het niet altijd even hard waait. Om een windmolen te ontwerpen, zullen we meer moeten weten over hoe vaak het hard genoeg (én niet te hard) waait. Deze kansdichtheidsverdeling van de windsnelheid blijkt voor veel locaties de vorm te hebben van de
Weibull-verdelingw uit de kansrekening. In figuur 19 staan metingen met een daarbij aansluitende Weibull-kromme (in rood):
Figuur 19. Gemeten windsnelheidsverdeling en Weibull-kromme. (bron: Wikimedia Commons)
Uit de grafiek kunnen we zien dat de vaakst voorkomende wind een lagere snelheid heeft dan de gemiddelde windsnelheid. Ook zien we dat de grafiek aan de rechterkant een staart heeft met extreme windsnelheden.
(De ook in figuur 19 getekende
normale verdeling (in blauw) heeft niet zoveel zin: nemen we die als modelkromme, dan kunnen we negatieve windsnelheden verwachten.)
Een windturbine heeft een minimale windsnelheid ($v_{min}$) nodig om rendabel te kunnen draaien. Bij lagere windsnelheden zijn de kosten van slijtage hoger dan de opbrengsten van de windenergie. Bij hogere windsnelheden neemt het vermogen dat uit de wind gehaald kan worden toe met de derde macht van de windsnelheid, zoals we zagen. Bij een bepaalde windsnelheid levert de turbine het maximale vermogen. Wordt de windsnelheid nog hoger, dan zal ervoor gezorgd worden dat het vermogen niet verder oploopt, om beschadiging te voorkomen. Dit kan bijvoorbeeld door de molen enigszins uit de wind te draaien, of door de rotorbladen wat te kantelen. Boven een windsnelheid $v_{max}$ is het gevaar voor beschadiging te groot, en wordt de molen uit bedrijf genomen. De totale opbrengstcurve ziet er alles bij elkaar uit zoals in figuur 20.
Figuur 20. Het vermogen van een windturbine (in rood) en een Weibull-kromme (blauw) als functie van de windsnelheid.
Figuur 21 laat zien dat het, doordat de energie evenredig is met de derde macht van de snelheid, gunstiger is om een windturbine te ontwerpen voor de "staart" van de Weibull-kromme dan voor de meest voorkomende windsnelheden.
Figuur 21. Weibull-kromme (rood) en energieopbrengst (blauw). (bron: Wikimedia Commons)
Capaciteitsfactor
Een windturbine draait, zoals uit figuur 20 blijkt, lang niet altijd op vol vermogen. De in werkelijkheid opgewekte energie per jaar gedeeld door wat het maximale vermogen in een jaar opgeleverd zou hebben, wordt de
capaciteitsfactor genoemd:
$$C = {E_{jaar}}/{P_{max}t_{jaar}}$$
Turbines op het land hebben doorgaans een capaciteitsfactor van 20 à 25%, maar op zee kan de factor, door de veel constantere wind, oplopen tot zo'n 35 tot 40%. De capaciteitsfactor van een te installeren turbine kan van tevoren geschat worden door de Weibull-curve van de locatie te vermenigvuldigen met de vermogenskarakteristiek van de turbine.
Windmolenparken
In windmolenparken beïnvloeden de turbines het rendement van de benedenwindse turbines. De turbulentie in de lucht wordt sterker en de gemiddelde snelheid neemt af, zoals boven besproken. Deze interactie tussen turbines valt buiten de inhoud van deze module.
Typen windturbines
Naast de meest bekende windturbine, met een horizontale as, zijn er nog andere typen. Zie bijvoorbeeld onderstaande animaties.
Vraagstukken
Capaciteitsfactor
Onderstaande figuur geeft de gemeten windsnelheidsverdeling van een locatie waar een windturbine gepland is.
Kies realistische waarden voor de lengte van de rotorbladen, de prestatiecoëfficiënt, $v_{min}$ en $v_{max}$ en het maximale vermogen, en maak een schatting van de capaciteitsfactor die de windturbine dan heeft.
Leidingsystemen: de frictiefactor
In een leidingensysteem bevinden zich allerlei onderdelen die wrijving met zich meebrengen: de wanden van de leidingen, bochten, afsluiters, enz.
In de
mechanische-energiebalans:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ - e_f) + Φ_w$$
vinden we dit verlies door wrijving terug in de term $e_f$: de
dissipatie per massaeenheid (in J/kg).
Voor rechte leidingen geldt:
$$e_f = 4f1/2v^2L/D$$
waarin
• $f$ de frictiefactor
• $v$ de gemiddelde snelheid in de leiding
• $L$ de lengte van de leiding
• $D$ de diameter van de leiding
De
frictiefactor $f$ is een functie van het Reynoldsgetal. Hiervoor is een grafiek beschikbaar: TPDC-84. Daarin is te zien dat voor laminaire stroming de weerstand heel anders verloopt dan in het turbulente gebied. In het overgangsgebied tussen deze twee regimes is het niet zeker in welke toestand de stroming zich zal bevinden: dat hangt af van de precieze condities in de leiding en de voorgeschiedenis van de vloeistof.
In het turbulente gebied is de frictiefactor ook afhankelijk van de relatieve ruwheid: dat is de wandruwheid $ε$ van de buis gedeeld door de buisdiameter $d$. Zie tabel 4 voor voorbeelden van wandruwheden.
Tabel 4. Enkele voorbeelden van (absolute) ruwheden.
materiaal | ruwheid (m) |
staal, smeedijzer | 4,6·10-5 |
gegalvaniseerd ijzer | 1,5·10-4 |
gietijzer | 2,6·10-4 |
beton | 3·10-4 tot 3·10-3 |
Als er meerdere leidingen in een systeem zitten, kunnen we hun afzonderlijke waarden van $e_f$ bij elkaar optellen:
$$e_{f, leidingen} = ∑↙i{(4f1/2v^2L/D)_i}$$
Door de plaatsen waartussen de mechanische-energiebalans wordt opgesteld slim te kiezen, kunnen verschillende eigenschappen van het systeem bepaald worden. Stel dat we een leiding hebben met aan het begin een pomp, zoals in figuur 22.
Figuur 22. Pomp in leiding.
Kiezen we de plaatsen 1 en 3 voor de balans, dan bevindt de pomp zich
in het systeem, waardoor we $Φ_w$ in de vergelijking krijgen. Het drukverschil ($p_1-p_3$) is dan gelijk aan nul. Omdat ook $v_1$ gelijk is aan $v_3$ en $z_1$ aan $z_3$, kunnen we het benodigde vermogen $Φ_w$ bepalen als we de stofeigenschappen en de stroomsnelheid weten.
Maar kiezen we de plaatsen 2 en 3, dan bevindt de pomp zich
buiten het systeem. Er is dan geen term $Φ_w$. Het drukverschil $p_2-p_3$ staat dan echter wél in de vergelijking. Zo kunnen we bepalen welke druk de pomp moet leveren om het fluïdum te verpompen.
Wat moeten we doen als v niet bekend is?
In de praktijk komen we tegen dat er wel een drukverschil over een leiding bekend is, maar de stroomsnelheid nog niet. We kunnen dan dus geen waarde van $f$ bepalen en daardoor $v$ niet berekenen. We zouden weer kunnen itereren, zoals bij de
stationaire eindsnelheid van een vallend voorwerp: een waarde voor $v$ schatten, $f$ bepalen, enz.
Maar het blijkt mogelijk om een vergelijking op te stellen om $v$ te bepalen.
Voor een horizontale rechte kale leiding geldt:
$$Δp = 4f·1/2 ρ v^2L/D$$
(leid dit zelf af).
Deze vergelijking kunnen we, door het inschuiven van variabelen aan beide kanten en wat te knutselen, omschrijven tot:
$$f/2{ρ^2v^2D^2}/μ^2={ρD^3}/{4μ^2}{Δp}/L$$
ofwel:
$$f/2\ Re^2={ρD^3}/{4μ^2}{Δp}/L$$
Nu staan alle bekenden rechts, en kunnen we $1/2f\ Re^2$ uitrekenen. Omdat $f$ een functie is van $Re$ (en van de wandruwheid) kunnen we nu $Re$ bepalen uit de figuur op TPDC-85, zodat we de snelheid van het fluïdum kunnen berekenen.
Vraagstukken
Melk
Door een horizontale leiding in een melkfabriek stroomt volle melk, 5,0 liter per seconde. De leiding heeft een gladde binnenkant, een inwendige diameter van 5,0 cm en een lengte van 40 m.
a. Welk elektrisch vermogen $P$ moet de pomp hebben, als deze een rendement van 80% heeft?
b. Welke druk moet de pomp leveren?
Ketel
In een ketel bevindt zich een waterige vloeistof onder een druk van 250 kPa. Aan de ketel is een leiding verbonden met een inwendige diameter van 2,0 cm, een lengte van 3,0 m en een ruwheid van 0,010 cm. Door een fout komt de leiding in open verbinding met de lucht te staan. Met welk volumedebiet ontsnapt de vloeistof uit de ketel?
Leidingsystemen: het weerstandsgetal
We weten nu hoe we de
frictiefactor van een rechte buis moeten bepalen. Maar in een leidingenstelsen bevinden zich ook bochten, afsluiters, vernauwingen e.d. die voor extra energieverlies zorgen. In dit geval kunnen we schrijven:
$$e_f = K_w 1/2v^2$$
waarin $K_w$ het
weerstandsgetal is en $v$ de
benedenstroomse snelheid (dus ná de appendage).
In TPDC-82 staan voorbeeldwaarden voor $K_w$.
Net als bij de frictiefactor kunnen de afzonderlijke bijdragen van de appendages bij elkaar opgeteld worden:
$$e_{f, appendages} = ∑↙i{(K_w 1/2v^2)_i}$$
We kunnen deze twee bijdragen dan ook op deze manier combineren:
$$e_{f, totaal} = ∑↙i{(4f1/2v^2L/D)_i} + ∑↙j{(K_w 1/2v^2)_j}$$
⊕ De frictiefactor als weerstandsgetal
Als we voor een leiding definiëren: $K_w = 4f L/D$, kan de wrijving verder gegeneraliseerd worden tot:
$$e_{f, totaal} = ∑↙i{(K_w 1/2v^2)_i}$$
Vraagstukken
Waterleiding
Een docent is aan het klussen in de keuken en breekt per ongeluk een waterleidingbuis, waarop een overdruk van 14 m waterkolom staat, helemaal af.
Maak een schatting van het volumedebiet dat te verwachten is.
• Maak reële schattingen voor alle niet bekende parameters.
• Houd rekening met de wrijving in de leiding tussen de hoofdwaterleiding en de keuken.
• Laat zien of bochten in de leiding van belang zijn voor het debiet.
• De druk in de hoofdleiding in de straat mag constant worden verondersteld.
Rietje
Welke onderdruk heerst er in de mond bij het leegdrinken van een glas door een rietje-met-een-bocht?
Tentamenvraagstukken
Aceton (2) - Hexaan - Rietje
Waterkracht
Kijk ook voor dit onderwerp uiteraard weer terug naar
de eerstejaarsmodulew.
In een waterkrachtcentrale wordt de zwaarte-energie of de kinetische energie van water gebruikt om elektriciteit te maken. Waar hoogteverschillen zijn, zoals in de Alpen, kan in een stuwmeer water op grote hoogte boven het dalniveau gebracht worden (zie figuur 23). Met een turbine wordt dan de zwaarte-energie van het water benut. Waar geen bergen zijn maar wel snelstromend water, kan juist de kinetische energie van het water in elektriciteit omgezet worden.
Figuur 23. Waterkrachtcentrale; A: reservoir; B: centrale; C: turbine; D: generator; E: inlaat; F: toevoerleiding; G: elekticiteitsnet; H: rivier (bron: Wikimedia Commons)
We gaan weer uit van de
mechanische-energiebalans:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$
In het geval van een windturbine konden we de termen $z_1-z_2$, $p_1-p_2$ en $Φ_f$ nul stellen. In een waterkrachtcentrale ligt het ingewikkelder. Alle termen zijn in ieder geval al afhankelijk van welke punten we "1" en "2" kiezen (E en H? vlak voor en vlak na de turbine?). Daarnaast is het goed mogelijk dat de wrijving in de buizen, $Φ_f$, niet verwaarloosbaar is. Maar met behulp van onze vorige onderwerpen kunnen we hieraan rekenen (zie het vraagstuk
Kölnbrein).
Dit zijn de drie belangrijkste turbinetypen (zie figuur 24):
• Peltonturbine: een soort veredeld
onderslaand waterradw; hier wordt met hoge snelheid water tegenaan gespoten;
• Francisturbine: meest gebruikte turbine; geschikt voor valhoogtes van 10 m en hoger;
• Kaplanturbine: meestal met verstelbare schoepen; geschikt voor hoge watersnelheid bij lage valhoogte.
Figuur 24. Van links naar rechts: Pelton-, Francis-, Francis- en Kaplanturbine (bron: Wikimedia Commons)
Energie-inhoud
Wanneer een stuwmeer leegloopt, neemt de waterhoogte - en dus de energie-inhoud per kg water - af. Bij stuwmeren met grote hoogteverschillen ten opzichte van de locatie van de elektriciteitsopwekking kan deze afname nog wel verwaarloosd worden. Bij lagere stuwmeren echter niet. Een extreem voorbeeld is het voorstel van het
Energie-eiland, of het
valmeer, dat in de Noordzee aangelegd zou kunnen worden. Daar wordt energie opgeslagen door water wég te pompen uit een omdijkt stuk zee (zie figuur 25). Links de situatie bij voldoende wind: het water wordt uit het meer in de omringende zee gepompt. Rechts de windstille situatie: door het water het meer in te laten stromen, wordt elektriciteit opgewekt.
Valmeer in de Noordzee.
Zie voor de berekening het vraagstuk
Energie-eiland.
Vraagstukken
Kölnbrein
In het Maltadal in Oostenrijk bevindt zich de hoogste stuwdam van Oostenrijk: de Kölnbrein-dam (hoogte 200 m). Het water uit het stuwmeer stroomt door een 20 km lange leiding met een diameter van 4,9 m naar een 1100 m lager gelegen elektriciteitscentrale. Door de leiding stroomt jaarlijks 275 miljoen m³ water.
a. Hoe groot is het gemiddelde vermogen dat opgewekt zou kunnen worden als er geen verliezen waren?
De rotswand waarin de leiding is uitgehouwen, is bekleed met beton.
b. Hoe groot is het vermogensverlies door wrijving in deze leiding, op basis van de gemiddelde snelheid?
Als jaarlijks geleverde energie wordt in de documentatie van de centrale 715 GWh genoemd.
c. Hoe hoog is het rendement van de centrale, gebaseerd op de gemiddelden uit (a) en (b)?
Het piekvermogen van de centrale is 850 MW.
d. Wat is het waterdebiet bij piekvermogen, als het wrijvingsverlies verwaarloosd mag worden?
e. Bereken de watersnelheid in de leiding bij piekvermogen.
Energie-eiland
Het door KEMA/Lievense voorgestelde
Energie-eiland heeft de volgende eigenschappen (
We@Sea 2007w): oppervlak 40 km², niveau onder het zeeoppervlak 32 tot 40 m.
a. Komt de totale energie-inhoud van het water tussen de twee niveaus overeen met de door de ontwerpers opgegeven 20 GWh?
b. Waarom zouden de bovenste 32 meter van het valmeer niet gebruikt worden?
Macroscopische impulsbalans
We kunnen de tweede
wet van Newtonw:
$$F↖{→} = m·a↖{→}$$
ook schrijven als:
$$F↖{→} = m·{dv↖{→}}/{dt} = {d(mv↖{→})}/{dt}$$
(De pijlen geven aan dat kracht, versnelling en snelheid
vectoren zijn.)
Zo bekeken, kunnen we
kracht opvatten als veroorzaker van een verandering van $mv↖{→}$ in de tijd. Deze combinatie van massa en snelheid, $mv↖{→}$, heeft in de natuurkunde de naam
impuls gekregen, met als symbool $p↖{→}$, dus:
$$F↖{→} = {dp↖{→}}/{dt}$$
Omdat impuls een vector is, moeten we altijd naar drie componenten kijken: $p↖{→} = (p_x, p_y, p_z)$.
Als in een waterleiding een bocht zit, moet de leiding een kracht uitoefenen op het water om dit de bocht te laten maken. Met een
impulsbalans kunnen we uitrekenen hoe groot te kracht is die hiervoor nodig is. We gaan impulsbalansen opstellen voor de bocht in figuur 25.
Figuur 25. Water in een bocht in een buis.
Eerst kijken we naar de impuls in de x-richting, $p_x$. De algemene vorm voor de impulsbalans in de x-richting is:
$${dp_x}/{dt} = Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit} + F_x$$
waarin $Φ_{p,x,in}$ en $Φ_{p,x,uit}$ de ingaande en uitgaande impulsstroom zijn, en $F_x$ de kracht die in de x-richting door de buis op het water wordt uitgeoefend.
Het water stroomt de buis binnen met een gemiddelde snelheid $v$, geheel in de x-richting, dus $v_{x,in} = v$. Daarmee stroomt ook impuls in de x-richting de bocht in: per seconde stroomt $Φ_m$ aan massa binnen, die de snelheid $v_{x,in}$ heeft, dus per seconde is de instroom van impuls in de x-richting gelijk aan $(Φ_m·v)_{x,in} = Φ_m·v$. De uitgaande stroom heeft géén impuls in de x-richting, dus $Φ_{p,x,uit} = 0$. Daarmee wordt de impulsbalans:
$${dp_x}/{dt} = Φ_m·v - 0 + F_x$$
De totale impuls van het water in de bocht blijft steeds gelijk, want de snelheden veranderen niet. Er is wel telkens nieuw water in de bocht, maar de totale impuls blijft hetzelfde. De linker term, ${dp_x}/{dt}$, is dus gelijk aan nul. Ofwel: $0 = Φ_m·v - 0 + F_x$. Daarmee kunnen we de kracht in de x-richting bepalen: $ F_x = -Φ_m·v$.
Op dezelfde manier kunnen we voor de y-richting afleiden:
$${dp_y}/{dt} = Φ_{p,y,in} - Φ_{p,y,uit} + F_y$$
$$0 = 0 - Φ_m·v + F_y$$
Dus geldt: $F_y = Φ_m·v$.
Voor de totale kracht die de buis op het water uitoefent, geldt dus:
$$F_{tot} = √{F_x^2+F_y^2} = √{(-Φ_m·v)^2 + (Φ_m·v)^2$$
Zie ook
Microscopische impulsbalans
Vraagstukken
Bocht
Door een bocht in een leiding stroomt 250 liter water per seconde. De leiding heeft een diameter van 40 cm. De hoek tussen de beide delen van de leiding is 120°.
a. Hoeveel bedraagt de kracht die het water op de leiding uitoefent?
b. Als dit teveel zou zijn voor de constructie, zou de diameter van de leiding dan groter of kleiner gemaakt moeten worden?
Bak
Een bak op wielen met een gewicht van 20 kg wordt horizontaal getroffen door een waterstraal met een diameter van 3,0 cm en een snelheid van 5,0 m/s.
a. Met welke versnelling zal de bak aanvankelijk gaan rollen als de wrijving verwaarloosd mag worden?
b. Hoe komt het dat de versnelling van de bak zal gaan afnemen?
Graan
Uit een voorraadsilo valt per seconde 10 kg graan op een lopende band. Het graan valt, met een te verwaarlozen beginsnelheid, 2,0 m voordat het de band raakt.
a. Met welke snelheid raakt het graan de band?
De band loopt met een snelheid van 1,0 m/s omhoog met een hoek van 30° met de horizontaal.
b. Leid met behulp van een impulsbalans af welke kracht in horizontale richting op het graan moet worden uitgeoefend.
c. Doe hetzelfde voor de verticale richting.
Tentamenvraagstukken
Brielse Meerleiding - Knik - Modder (1) - Opspuiten
Impulstransport
Bij het opstellen van de
macroscopische impulsbalans zagen we dat impuls met een fluïdum mee een controlevolume in en uit kan stromen. Transport van impuls kan echter ook loodrecht op de stromingsrichting optreden. Als we een blad papier op een laagje water laten drijven en we trekken in horizontale richting aan het blad (zie figuur 26), dan zal het water eronder ook in beweging komen (rode lijn in de figuur):
Figuur 26. Impulstransport door uitoefenen van kracht.
Blijven we aan het blad trekken, dan zal steeds dieper in het water merkbaar zijn dat erboven iets in beweging is (groene lijn), totdat er uiteindelijk een recht snelheidsprofiel ontstaat (blauwe lijn) - als het water niet te diep en het papier groot genoeg is.
Klik hier voor een simulatie van dit proces.w
We zien dus dat
impuls in de x-richting ($p_x=mv_x$) is getransporteerd
in de z-richting. De kracht die hiervoor nodig is, bedraagt per oppervlakte-eenheid:
$$τ_{zx} = -µ {dv_x}/{dz}$$
waarin µ de viscositeit van het fluïdum is. De grootheid $τ_{zx}$ is de
schuifspanning: de spanning (kracht per oppervlak) die nodig is om het fluïdum te laten schuiven. Ook deze vergelijking staat bekend als een
wet van Newton. Vloeistoffen die aan deze wet voldoen, worden dan ook
newtonse vloeistoffen genoemd.
Deze kracht blijft nodig om de snelheidsgradiënt ${dv_x}/{dz}$ in stand te houden, want als we stoppen met trekken, komt het blad papier tot stilstand door de wrijving met en in het water. Dit komt overeen met het verdwijnen van een temperatuurgradiënt wanneer de warmtestroom ophoudt.
Het min-teken is een definitiekwestie: $τ_{zx}$ is
de kracht die een stof met een lagere waarde $z$ uitoefent op de stof met een hogere waarde van $z$. Hier is het dus de kracht die het water vlak bij het papier (lagere $z$) uitoefent op het papier (hogere $z$), en die kracht is negatief (het water "probeert het papier tegen te houden"). De kracht die het papier op het water uitoefent is volgens de
derde wet van Newtonw even groot maar tegengesteld gericht.
We zullen
later vloeistoffen tegenkomen die niet aan deze wet van Newton voldoen.
Vraagstukken
Wrijving
Een cilinder met een diameter van 12 cm en een lengte van 15 cm draait rond in een buis met een iets grotere diameter. De ruimte tussen de cilinder en de buis is 1,0 mm en is gevuld met een olie die een viscositeit heeft van 50 mPa·s. Wat is de kracht die op de cilinderwand moet worden uitgeoefend om de cilinder met twee omwentelingen per seconde aan het draaien te houden?
Tentamenvraagstukken
Kracht - Platen (2) - Vlakke plaat
Microscopische impulsbalans
Nu we weten hoe een
impulsbalans voor een volume moet worden opgesteld, en hoe impuls binnen een fluïdum
getransporteerd wordt, kunnen we op heel kleine schaal gaan kijken naar de krachten die spelen in stromingen.
Daarvoor bakenen we in een stroming een kubusvormig volume af met afmetingen dx, dy en dz (zie figuur 27).
Figuur 27. Kubusvormig controlevolume.
Het fluïdum stroomt dóór het kubusje. Voor het fluïdum in de kubus stellen we de drie impulsbalansen op. Voor de x-richting geldt, net als bij de
macroscopische impulsbalans:
$${dp_x}/{dt} = Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit} + F_x$$
De term $F_x$ staat voor alle krachten die op het fluïdum in de kubus werken. Dit zijn: de zwaartekracht $F_g$, de kracht $F_p$ ten gevolge van drukverschillen in het fluïdum, en de kracht $F_s$ ten gevolge van snelheidsgradiënten in het fluïdum - allemaal voor zover deze in de x-richting staan. Zo wordt de formule:
$${dp_x}/{dt} = Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit} + F_{s,x} + F_{p,x} + F_{g,x}$$
Als de dichtheid van het fluïdum constant is, en dus de massa binnen de kubus ook, geldt:
$${dp_x}/{dt} = {d(mv_x)}/{dt} = m{dv_x}/{dt}= ρ{dv_x}/{dt}dxdydz$$
$$F_{g,x} = ρg_xdxdydz$$
De kracht ten gevolge van drukverschillen in de x-richting kunnen we als volgt schrijven (want $F = p·A$):
$$F_{p,x} = [p]_xdydz - [p]_{x+dx}dydz = ([p]_x-[p]_{x+dx})dydz$$
(Hierin betekent de notatie $[Y]_x$ "de waarde van variabele $Y$ op plaats $x$".)
Voor $F_{s,x}$ kijken we naar de schuifspanning die door snelheidsgradiënten op de zijwanden van de kubus optreedt. Het fluïdum dat zich
onder de kubus bevindt, oefent in de x-richting een kracht $[τ_{zx}dxdy]_z$ uit op de kubus. Op het bovenvlak geldt, dat $[τ_{zx}dxdy]_{z+dz}$ de kracht voorstelt die het fluïdum in de kubus uitoefent op het fluïdum erboven, dus als we de kracht willen weten die het fluïdum
boven de kubus uitoefent op het fluïdum in de kubus, moeten we daar volgens Newton een minteken voor zetten: $-[τ_{zx}dxdy]_{z+dz}$. Voor het boven- en ondervlak samen geldt dus:
$$[τ_{zx}dxdy]_z-[τ_{zx}dxdy]_{z+dz} = ([τ_{zx}]_z-[τ_{zx}]_{z+dz})dxdy$$
Op dezelfde manier kunnen we voor het linker- en rechtervlak en voor het voor- en achtervlak schrijven:
$$([τ_{xx}]_x-[τ_{xx}]_{x+dx})dydz$$
$$([τ_{yx}]_y-[τ_{yx}]_{y+dy})dxdz$$
waarmee de gehele formule wordt:
$$ρ{dv_x}/{dt}dxdydz = Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit} + ([τ_{xx}]_x-[τ_{xx}]_{x+dx})dydz +([τ_{yx}]_y-[τ_{yx}]_{y+dy})dxdz +([τ_{zx}]_z-[τ_{zx}]_{z+dz})dxdy + ([p]_x-[p]_{x+dx})dydz + ρg_xdxdydz$$
We zien in de meeste termen combinaties van dx, dy en dz terugkomen. We kunnen de formule vereenvoudigen door te delen door dxdydz:
$$ρ{dv_x}/{dt} = {Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit}}/{dxdydz} +{[τ_{xx}]_x-[τ_{xx}]_{x+dx}}/{dx} +{[τ_{yx}]_y-[τ_{yx}]_{y+dy}}/{dy} +{[τ_{zx}]_z-[τ_{zx}]_{z+dz}}/{dz} + {[p]_x-[p]_{x+dx}}/{dx} + ρg_x$$
Op vier plaatsen zien we termen van de vorm ${f(x)-f(x+dx)}/{dx}$. In deze vorm herkennen we de negatieve afgeleide van de functie f(x), want $f'(x) ={f(x+dx)-f(x)}/{dx}$. Zo kunnen we dus schrijven:
$$ρ{∂v_x}/{∂t} = {Φ_{p,x,in} - Φ_{p,x,uit}}/{dxdydz} -{∂τ_{xx}}/{∂x} -{∂τ_{yx}}/{∂y} -{∂τ_{zx}}/{∂z} - {∂p}/{∂x} + ρg_x$$
(Hierin zijn de d's in de afgeleiden vervangen door kromme d's om aan te geven dat het hier steeds
partiële afgeleiden betreft.)
Voor de eerste twee termen aan de rechterkant van de oorspronkelijke formule, $Φ_{p_x, in} - Φ_{p,x,uit}$, bekijken we de impuls in de x-richting die met het fluïdum mee de kubus instroomt bij de zes buitenvlakken.
Voor het linker zijvlak geldt: $Φ_{p,x,in} = Φ_mv_x = ρv_xAv_x = ρv_xdydz v_x$. Op dezelfde manier als bij de andere termen, kunnen we deze herschrijven door te delen door dxdydz. Zo wordt de impulsbalans:
$$ρ{∂v_x}/{∂t} = -ρv_x{∂v_x}/{∂x}-ρv_y{∂v_x}/{∂y}-ρv_z{∂v_x}/{∂z} -{∂τ_{xx}}/{∂x} -{∂τ_{yx}}/{∂y} -{∂τ_{zx}}/{∂z} - {∂p}/{∂x} + ρg_x$$
waarmee we de uiteindelijke vorm krijgen:
$$ρ ( {∂v_x/∂t} + v_x{∂v_x/∂x} + v_y{∂v_x/∂y} + v_z{∂v_x/∂z} ) = - ( ∂τ_{xx}/∂x + ∂τ_{yx}/∂y + ∂τ_{zx}/∂z ) - ∂p/∂x + ρg_x$$
Voor de y- en de z-richting kunnen we overeenkomstige vergelijkingen afleiden.
Deze vergelijkingen zijn varianten van de
Navier-Stokes-vergelijkingenw. De vorm hierboven is, in tegenstelling tot de Navier-Stokes-vergelijkingen, ook geldig voor
niet-newtonse vloeistoffen.
Zie ook
Macroscopische impulsbalans
Vraagstukken
Termen
Leg van ieder van de gekleurde onderdelen in onderstaande formule uit wat de betekenis ervan is.
Hellend vlak
Een laagje water van 1,0 mm ligt op een plat vlak dat een hoek van 1,0° met de horizontaal maakt.
a. Leid uit een impulsbalans af hoeveel de snelheid van het vrije oppervlak bedraagt.
b. Verwacht je dat de stroming in het laagje laminair is, of turbulent?
Niet-newtonse vloeistoffen
Lang niet alle vloeistoffen houden zich aan de
wet van Newton.
Er zijn vloeistoffen die makkelijker gaan stromen als er grote snelheidsverschillen zijn, of die dan juist extra stroperig worden. Er zijn vloeistoffen die een ingebouwde weerstand tegen stroming hebben, die eerst overwonnen moet worden voordat ze überhaupt willen stromen. Er zijn vloeistoffen die zich als elastiek gedragen. En nog veel meer varianten.
Deze vloeistoffen hoeven niet eens kunstmatig te zijn. Veel vloeistoffen van plantaardige of dierlijke oorsprong bevatten bijvoorbeeld eiwitten, koolhydraten of vetten en krijgen daardoor niet-newtonse eigenschappen. Bloed, margarine, mosterd en een maïzena-oplossing zijn voorbeelden.
Machtswetvloeistoffen
Bij
machtswetvloeistoffen loopt het verband tussen de schuifspanning $τ_{zx}$ en de snelheidsgradiënt ${dv_x}/{dz}$ volgens een macht $n$:
$$τ_{zx}=-K({dv_x}/{dz})^n$$
waarin $K$ de
consistentie (Engels:
consistency) is.
Wanneer
n < 1, lijkt de vloeistof bij hogere snelheidsgradiënten een lagere viscositeit te hebben. Dit kan bijvoorbeeld het geval zijn wanneer de vloeistof lange moleculen bevat. Die komen bij een hogere snelheidsgradiënt wat meer in dezelfde richting te liggen, waardoor ze gemakkelijker langs elkaar schuiven. Dit type vloeistof heet
pseudoplastisch. Voorbeelden: bloed, latexverf, soep.
Als
n > 1, lijkt de viscositeit bij een hogere snelheidsgradiënt juist een hogere viscositeit te krijgen. Deze vloeistoffen zijn extra lastig snel te mengen. Ze heten
dilatant. Maïzenapap is een voorbeeld.
Eigenlijk zijn newtonse vloeistoffen (
n = 1) een bijzonder geval van machtswetvloeistoffen: ze zijn het grensgeval tussen pseudoplastische en dilatante vloeistoffen. Water, honing (niet-gekristalliseerd), suikerstroop zijn voorbeelden van newtonse. Ook gassen gedragen zich meestal newtons.
Bingham-vloeistoffen
Bingham-vloeistoffen stromen alleen als de schuifspanning boven een bepaalde grenswaarde (de
zwichtspanning) komt. Deze zwichtspanning wordt genoteerd als $τ_0$ of $τ_y$ (van het Engels:
yield stress). Veel voedingsmiddelen hebben deze eigenschap: ze zijn smeerbaar, maar blijven in hun vorm staan als er geen externe kracht op wordt uitgeoefend. Denk aan margarine, pindakaas, mosterd en mayonaise. Ook klei en tandpasta hebben een zwichtspanning.
Figuur 28 laat de relatie tussen de schuifspanning en de snelheidsgradiënt zien voor verschillende typen vloeistoffen.
Figuur 28. De schuifspanning als functie van de snelheidsgradiënt. (bron: Wikimedia Commons)
Andere typen
Machtswet- en Bingham-vloeistoffen zijn eenvoudige modellen waarmee veel vloeistoffen voldoende mee beschreven kunnen worden, maar er zijn vloeistoffen met heel andere soorten niet-newtons gedrag. Deze vallen buiten de inhoud van deze module, maar zijn wel interessant om te kennen - zie bijvoorbeeld
dit filmpjew.
Vraagstukken
Saus
In een productieproces in de voedingsindustrie bevindt zich tussen twee parallelle, vertikale platen een saus met een dichtheid van 1200 kg/m³. De afstand tussen de platen is 1,0 cm.
a. Leid af hoe de schuifspanning afhangt van de x-coördinaat. Kies de x-richting loodrecht op de platen, met het nulpunt voor x midden tussen de twee platen, en de z-richting vertikaal.
De machtswet waarmee de saus beschreven wordt, is:
$τ_{xz} = -4,2·({dv_z}/{dx})^{0,51}$
b. Laat zien dat voor de vertikale snelheid geldt: $v_z = c_1x^{2,96} +c_2$, waarin $c_1$ en $c_2$ constanten zijn, en geef de waarden van deze constanten.
c. Wat is de maximale snelheid van de saus?
Boterhampasta
Op de boterham van een kleuter zit een laag boterhampasta van 4,0 mm dik. De pasta gedraagt zich als een Binghamvloeistof met een zwichtspanning $τ_0$ van 25 Pa. De dichtheid van de pasta is 1050 kg/m³.
a. Onder welke hoek met de horizontaal mag de boterham gehouden worden zodat de pasta nog net niet begint te schuiven?
De kleuter houdt de boterham vertikaal, zodat de pasta gaat stromen.
b. Hoe dik is de laag waarin geen snelheidsverschillen optreden?
c. Teken het schuifspanningsprofiel en het snelheidsprofiel.
Schuin
Een laag van een Binghamvloeistof bevindt zich tussen twee evenwijdige platen. De platen wordt zo schuin gezet dat de schuifspanning in de vloeistof bij het plaatoppervlak vier keer zo hoog is als de zwichtspanning $τ_0$. Teken het snelheidsprofiel in de vloeistof. De maximale snelheid hoeft niet uitgerekend te worden en mag $v_{max}$ genoemd worden. Teken recht bedoelde lijnen ook werkelijk recht.
Tentamenvraagstukken
Drukgradiënt - Machtswet - Modder (2) - Pasta - Polymeer - Tandpasta - Vloeistof
Symbolenlijst
Deze symbolenlijst is niet compleet, maar geeft een overzicht van de belangrijkste grootheden.
In de dimensieloze kentallen
zoals hier genoteerd staat D voor de diffusiecoëfficiënt, niet voor een diameter.
Bronnen
Clift et al., 1978, Clift R., Grace J.R. & Weber M.E.;
Bubbles, Drops, and Particles, Academic Press, New York
Marshak (2005), Marshak, Alex (2005).
3D radiative transfer in cloudy atmospheres (geciteerd op
Wikipediaw)
WP2014,
http://en.wikipedia.org/wiki/Henry's_LawwWe@Sea 2007w,
Energie-eiland, de haalbaarheid van drie verschillende opties van energieopslag voor Nederland, geraadpleegd 19 augustus 2014