Waterkracht
Kijk ook voor dit onderwerp uiteraard weer terug naar de eerstejaarsmodulew.
In een waterkrachtcentrale wordt de zwaarte-energie of de kinetische energie van water gebruikt om elektriciteit te maken. Waar hoogteverschillen zijn, zoals in de Alpen, kan in een stuwmeer water op grote hoogte boven het dalniveau gebracht worden (zie figuur 1). Met een turbine wordt dan de zwaarte-energie van het water benut. Waar geen bergen zijn maar wel snelstromend water, kan juist de kinetische energie van het water in elektriciteit omgezet worden.
Figuur 1. Waterkrachtcentrale; A: reservoir; B: centrale; C: turbine; D: generator; E: inlaat; F: toevoerleiding; G: elekticiteitsnet; H: rivier (bron: Wikimedia Commons)
We gaan weer uit van de mechanische-energiebalans:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$
In het geval van een windturbine konden we de termen $z_1-z_2$, $p_1-p_2$ en $Φ_f$ nul stellen. In een waterkrachtcentrale ligt het ingewikkelder. Alle termen zijn in ieder geval al afhankelijk van welke punten we "1" en "2" kiezen (E en H? vlak voor en vlak na de turbine?). Daarnaast is het goed mogelijk dat de wrijving in de buizen, $Φ_f$, niet verwaarloosbaar is. Maar met behulp van onze vorige onderwerpen kunnen we hieraan rekenen (zie het vraagstuk Kölnbrein).
Dit zijn de drie belangrijkste turbinetypen (zie figuur 2):
• Peltonturbine: een soort veredeld onderslaand waterradw; hier wordt met hoge snelheid water tegenaan gespoten;
• Francisturbine: meest gebruikte turbine; geschikt voor valhoogtes van 10 m en hoger;
• Kaplanturbine: meestal met verstelbare schoepen; geschikt voor hoge watersnelheid bij lage valhoogte.
Figuur 2. Van links naar rechts: Pelton-, Francis-, Francis- en Kaplanturbine (bron: Wikimedia Commons)
Energie-inhoud
Wanneer een stuwmeer leegloopt, neemt de waterhoogte - en dus de energie-inhoud per kg water - af. Bij stuwmeren met grote hoogteverschillen ten opzichte van de locatie van de elektriciteitsopwekking kan deze afname nog wel verwaarloosd worden. Bij lagere stuwmeren echter niet. Een extreem voorbeeld is het voorstel van het Energie-eiland, of het valmeer, dat in de Noordzee aangelegd zou kunnen worden. Daar wordt energie opgeslagen door water wég te pompen uit een omdijkt stuk zee (zie figuur 3). Links de situatie bij voldoende wind: het water wordt uit het meer in de omringende zee gepompt. Rechts de windstille situatie: door het water het meer in te laten stromen, wordt elektriciteit opgewekt.
Valmeer in de Noordzee.
Zie voor de berekening het vraagstuk Energie-eiland.
Vraagstukken
Kölnbrein
In het Maltadal in Oostenrijk bevindt zich de hoogste stuwdam van Oostenrijk: de Kölnbrein-dam (hoogte 200 m). Het water uit het stuwmeer stroomt door een 20 km lange leiding met een diameter van 4,9 m naar een 1100 m lager gelegen elektriciteitscentrale. Door de leiding stroomt jaarlijks 275 miljoen m³ water.a. Hoe groot is het gemiddelde vermogen dat opgewekt zou kunnen worden als er geen verliezen waren?
De rotswand waarin de leiding is uitgehouwen, is bekleed met beton.
b. Hoe groot is het vermogensverlies door wrijving in deze leiding, op basis van de gemiddelde snelheid?
Als jaarlijks geleverde energie wordt in de documentatie van de centrale 715 GWh genoemd.
c. Hoe hoog is het rendement van de centrale, gebaseerd op de gemiddelden uit (a) en (b)?
Het piekvermogen van de centrale is 850 MW.
d. Wat is het waterdebiet bij piekvermogen, als het wrijvingsverlies verwaarloosd mag worden?
e. Bereken de watersnelheid in de leiding bij piekvermogen.
⬇ antwoord (a)
${dE}/{dt} = Φ_m(g(z_1-z_2)) + Φ_w = 0$ ⇒ $Φ_w = Φ_mg(z_1-z_2) = Φ_vρg(z_1-z_2)$
⇒ $Φ_w$ = 275·106 · 1000 · 10 · 1100 / (365 · 24 · 3600) = 9,59·107 W = 96 MW
⇒ $Φ_w$ = 275·106 · 1000 · 10 · 1100 / (365 · 24 · 3600) = 9,59·107 W = 96 MW
⬇ antwoord (b)
$A$ = 18,86 m² ⇒ $v$ = 0,4624 m/s ⇒ $Re$ = 2,3·106
$ε/D$ = 0,003/4,9 ≈ 1·10-3 ⇒ $f/2$ = 0,0025 ⇒ $e_f = 4 f/2 L/D v^2$ = 8,727 J/kg
⇒ $Φ_f = e_f Φ_m$ = 7,6·104 W ⇒ $P_w$ = 76 kW
$ε/D$ = 0,003/4,9 ≈ 1·10-3 ⇒ $f/2$ = 0,0025 ⇒ $e_f = 4 f/2 L/D v^2$ = 8,727 J/kg
⇒ $Φ_f = e_f Φ_m$ = 7,6·104 W ⇒ $P_w$ = 76 kW
⬇ antwoord (c)
715·109·3600 = 2,574·1015 J ⇒ 2,574·1015/(365·24·3600) = 81,6 MW
⇒ η = 81,6/95,9 = 0,851 = 85%
⇒ η = 81,6/95,9 = 0,851 = 85%
⬇ antwoord (d)
$Φ_m = P_{piek} / {g·(z_1-z_2)·η}$ = 850·106 / (10·1100·0,85) = 9,091·104 kg/s ⇒ $Φ_v$ = 90,91 = 91 m³/s
⬇ antwoord (e)
$v = Φ_v/A = Φ_v/{1/4πD^2}$ = 90,91/18,86 = 4,8203 = 4,8 m/s
Energie-eiland
Het door KEMA/Lievense voorgestelde Energie-eiland heeft de volgende eigenschappen (We@Sea 2007w): oppervlak 40 km², niveau onder het zeeoppervlak 32 tot 40 m.a. Komt de totale energie-inhoud van het water tussen de twee niveaus overeen met de door de ontwerpers opgegeven 20 GWh?
b. Waarom zouden de bovenste 32 meter van het valmeer niet gebruikt worden?
⬇ antwoord (a)
Als het waterniveau zich op diepte $z$ bevindt, kost het oppompen van een laagje $dz$ aan energie $g·z·A·dz$.
Integreren tussen $z_1$ en $z_2$ levert dus: $E = ∫↙{z_1}↖{z_2} ρgzA dz = [1/2ρgz^2A]_{z_1}^{z_2} = 1/2ρgA(z_2^2-z_1^2)$,
ofwel, met de gegeven waarden: $E = 1/2·1025·9,81·40·10^6·(40^2-32^2)$ = 1,15·1014 J = 115 TJ = 32·109 Wh = 32 GWh. Dit is meer dan de opgegeven 20 GWh, maar van dezelfde orde van grootte. In de praktijk zijn er verliezen, het basin heeft geen loodrechte wanden maar waarschijnlijk een badkuipvorm, enz.
Integreren tussen $z_1$ en $z_2$ levert dus: $E = ∫↙{z_1}↖{z_2} ρgzA dz = [1/2ρgz^2A]_{z_1}^{z_2} = 1/2ρgA(z_2^2-z_1^2)$,
ofwel, met de gegeven waarden: $E = 1/2·1025·9,81·40·10^6·(40^2-32^2)$ = 1,15·1014 J = 115 TJ = 32·109 Wh = 32 GWh. Dit is meer dan de opgegeven 20 GWh, maar van dezelfde orde van grootte. In de praktijk zijn er verliezen, het basin heeft geen loodrechte wanden maar waarschijnlijk een badkuipvorm, enz.
⬇ antwoord (b)
In de bovenste 32 m zit aan energie $E = 1/2·1025·9,81·40·10^6·(32^2-0^2)$ = 2,1·1014 J, maar daarvoor moet wel een vier keer zo groot volume aan water verpompt worden.
Bronnen
We@Sea 2007w, Energie-eiland, de haalbaarheid van drie verschillende opties van energieopslag voor Nederland, geraadpleegd 19 augustus 2014Laatste wijziging: 12-10-2022
Deze publicatie valt onder een Creative Commons licentie. Zie hiervoor het colofon.
Deze publicatie valt onder een Creative Commons licentie. Zie hiervoor het colofon.
