De wet van Bernoulli
De complete
mechanische-energiebalans luidt:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$
In veel systemen geldt:
• er is geen uitwisseling van arbeid met de omgeving, dus $Φ_w$ = 0;
• de wrijving is verwaarloosbaar, dus $Φ_f$ = 0.
In dat geval kan de mechanische-energiebalans voor stationaire situaties dus vereenvoudigd worden tot:
$$1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ =0$$
Het principe achter deze vergelijking werd door Daniël Bernoulli in 1738 geformuleerd in zijn boek
Hydrodynamica, en staat bekend als de
wet van Bernoulli.
De keuze van de posities 1 en 2, waartussen de vergelijking toegepast gaat worden toegepast, is van groot belang.
De vergelijking geldt in het algemeen langs een hele
stroomlijn: de lijn die gevormd wordt als je met een deeltje in de stroming meereist. Omdat bovenstaande vergelijking tussen
alle punten op de stroomlijn moet gelden, kunnen we ook schrijven:
$$1/2v^2 + gz + p/ρ = constant$$
Met deze vergelijking kunnen we bijvoorbeeld uitrekenen met welke snelheid een vloeistof uit een vat stroomt. Zie hiervoor het vraagstuk
Wijnvat. Daarbij moeten we er nog wel rekening mee houden dat een vloeistof die uit een gat spuit, nog wat verder samentrekt (zie figuur 1). Dit verschijnsel heet
vena contracta (letterlijk "samengetrokken ader") - zie figuur 2.
Figuur 1. Contractie in een vloeistofstraal.
Voor hoge stroomsnelheden uit openingen met scherpe randen kan voor de
oppervlakteverhouding van de kleinste doorsnede en de doorsnede van de opening de waarde 0,62 genomen worden:
$$A_{vc}/A_o = 0,62$$
De druk in de vloeistof is pas gelijk aan de omgevingsdruk op de plaats waar de kleinste doorsnede bereikt wordt.
⊕ Daniël Bernoulli
Daniël Bernoulli werd in februari 1700 geboren in Groningen en overleed in 1782 in Basel.
Behalve met vloeistofmechanica heeft hij zich beziggehouden met o.a. astronomie en fysica.
Zijn naam wordt uitgesproken als "ber-
noe-lie" (dus niet als "ber-noe-
jie", wat vaak gedacht wordt).
Vraagstukken
Wijnvat
Een wijnvat stroomt leeg door een gaatje van 1,0 cm diameter. Het gaatje bevindt zich 70 cm onder het beginniveau van de wijn. Het wijnvat kan worden opgevat als een cilinder die op de platte kant staat. De diameter van het vat is 80 cm.
a. Met welk volumedebiet stroomt de wijn in het begin?
b. Hoe lang duurt het voordat alle wijn boven het gaatje uit het vat is gestroomd?
Boomstam
Op de bodem van een beek ligt een boomstam (diameter 25 cm) overdwars. De beek heeft een diepte van 1,0 m en een stroomsnelheid (praktisch vlak snelheidsprofiel) van 1,0 m/s.
a. Ga ervan uit dat het wateroppervlak geheel vlak is. Welke stroomsnelheid heeft het water dan bij punt 2, midden boven de boomstam?
Als nog steeds wordt aangenomen dat het wateroppervlak geheel vlak is, heerst er in het water aan het oppervlak bij punt 2 een andere druk dan elders in de beek (bij 1).
b. Wat is het drukverschil tussen punt 1 en punt 2?
Door het drukverschil zal het wateroppervlak van plaats veranderen tot de drukken weer gelijk zijn.
c. Wat is het hoogteverschil tussen het oppervlak bij punt 1 en punt 2? Waar staat het water het hoogst?
d. Is de aanname van een vlak wateroppervlak voor de berekening van de snelheid boven de boomstam gerechtvaardigd?
Rondvaartboot
Een Delftse gracht is op een bepaalde plaats 4,0 m breed ($B_g$) en 1,4 m diep ($D_g$). Een rondvaartboot, die een diepgang $D_b$ heeft van 1,0 m en een breedte $B_b$ van 2,9 m, vaart hierin met een snelheid $v_b$ van 5,0 km/u. We modelleren de rondvaartboot als een rechthoekig blok.
a. Laat zien dat voor de watersnelheid $v_w$ langs de boot naar achteren geldt: $v_w = {v_bB_bD_b} / {B_gD_g – B_bD_b}$.
b. Hoeveel verandert de hoogte van de waterspiegel terwijl de boot langsvaart? Is dat omhoog, of omlaag?
Tentamenvraagstukken
Boeing - Drinkwater - Piramidebak
Laatste wijziging: 12-10-2022
Deze publicatie valt onder een Creative Commons licentie. Zie hiervoor het
colofon.