De wet van Bernoulli


De complete mechanische-energiebalans luidt:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ) + Φ_w - Φ_f$$ In veel systemen geldt:
• er is geen uitwisseling van arbeid met de omgeving, dus $Φ_w$ = 0;
• de wrijving is verwaarloosbaar, dus $Φ_f$ = 0.
In dat geval kan de mechanische-energiebalans voor stationaire situaties dus vereenvoudigd worden tot:
$$1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ =0$$ Het principe achter deze vergelijking werd door Daniël Bernoulli in 1738 geformuleerd in zijn boek Hydrodynamica, en staat bekend als de wet van Bernoulli.
De keuze van de posities 1 en 2, waartussen de vergelijking toegepast gaat worden toegepast, is van groot belang.

De vergelijking geldt in het algemeen langs een hele stroomlijn: de lijn die gevormd wordt als je met een deeltje in de stroming meereist. Omdat bovenstaande vergelijking tussen alle punten op de stroomlijn moet gelden, kunnen we ook schrijven:
$$1/2v^2 + gz + p/ρ = constant$$
Met deze vergelijking kunnen we bijvoorbeeld uitrekenen met welke snelheid een vloeistof uit een vat stroomt. Zie hiervoor het vraagstuk Wijnvat. Daarbij moeten we er nog wel rekening mee houden dat een vloeistof die uit een gat spuit, nog wat verder samentrekt (zie figuur 1). Dit verschijnsel heet vena contracta (letterlijk "samengetrokken ader") - zie figuur 2.


Figuur 1. Contractie in een vloeistofstraal.

Figuur 2. Vena contracta. (bron: Wikimedia Commons)

Voor hoge stroomsnelheden uit openingen met scherpe randen kan voor de oppervlakteverhouding van de kleinste doorsnede en de doorsnede van de opening de waarde 0,62 genomen worden:
$$A_{vc}/A_o = 0,62$$ De druk in de vloeistof is pas gelijk aan de omgevingsdruk op de plaats waar de kleinste doorsnede bereikt wordt.

⊕ Daniël Bernoulli

Daniël Bernoulli werd in februari 1700 geboren in Groningen en overleed in 1782 in Basel.
Behalve met vloeistofmechanica heeft hij zich beziggehouden met o.a. astronomie en fysica.
Zijn naam wordt uitgesproken als "ber-noe-lie" (dus niet als "ber-noe-jie", wat vaak gedacht wordt).

Vraagstukken

Wijnvat

Een wijnvat stroomt leeg door een gaatje van 1,0 cm diameter. Het gaatje bevindt zich 70 cm onder het beginniveau van de wijn. Het wijnvat kan worden opgevat als een cilinder die op de platte kant staat. De diameter van het vat is 80 cm.
a. Met welk volumedebiet stroomt de wijn in het begin?
b. Hoe lang duurt het voordat alle wijn boven het gaatje uit het vat is gestroomd?
 ⬇ hint (b)
De wijnhoogte - en dus de uitstroomsnelheid - is tijdsafhankelijk, dus gebruik een massabalans.
 ⬇ antwoord (a)
$1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ =0$
Kies 1 aan het oppervlak, 2 in de uitstroomopening. Dan geldt $v_1$ = 0, $z_1-z_2=H$, $p_1=p_2$ ⇒ $v_2 = √{2gH}$.
In het begin: $H$ = 70 cm ⇒ $v_2$ = 3,74 m/s ⇒ met oppervlak van opening: $Φ_v$ = 0,29 L/s.
Als voor de contractiefactor 0,62 genomen wordt, volgt dus: $Φ_v$ = 0,62·0,29 = 0,18 L/s.
 ⬇ antwoord (b)
${dm}/{dt} = -Φ_m$ ⇒ ${d(π/4D^2H·ρ)}/{dt} = -Φ_v·ρ = -π/4d^2√{2gH}·ρ$ (met $D$ diameter vat en $d$ diameter opening).
Dus: $H^{-½}dH = -(d^2/D^2)(2g)^{½}dt$.
Integreren: $H$ tussen $H_0$ en 0 en $t$ tussen 0 en $t_{eind}$ levert $t_e = (D^2/d^2)({2H_0}/g)^{½}$ = 2418 s = 40 min.
Als de contractie meegenomen wordt, is de uitstroom de hele tijd 0,62 keer de hier gebruikte waarde, en wordt de tijdsduur dus 40/0,62 = 65 min.
In hoeverre een gat in een wijnvat een scherpe rand zal hebben, is een kwestie van inschatten.

Boomstam

Op de bodem van een beek ligt een boomstam (diameter 25 cm) overdwars. De beek heeft een diepte van 1,0 m en een stroomsnelheid (praktisch vlak snelheidsprofiel) van 1,0 m/s.
a. Ga ervan uit dat het wateroppervlak geheel vlak is. Welke stroomsnelheid heeft het water dan bij punt 2, midden boven de boomstam?
Als nog steeds wordt aangenomen dat het wateroppervlak geheel vlak is, heerst er in het water aan het oppervlak bij punt 2 een andere druk dan elders in de beek (bij 1).
b. Wat is het drukverschil tussen punt 1 en punt 2?
Door het drukverschil zal het wateroppervlak van plaats veranderen tot de drukken weer gelijk zijn.
c. Wat is het hoogteverschil tussen het oppervlak bij punt 1 en punt 2? Waar staat het water het hoogst?
d. Is de aanname van een vlak wateroppervlak voor de berekening van de snelheid boven de boomstam gerechtvaardigd?
 ⬇ antwoord (a)
Doorstroomde oppervlak is bij 2 kleiner dan bij 1 ⇒ $v_2 = v_1·(H_1/H_2)$ = 1,33 m/s.
 ⬇ antwoord (b)
$1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ = 1/2(v_1^2-v_2^2) + 0 + {p_1-p_2}/ρ = 0 ⇒ p_1 - p_2$ = –3,8·102 Pa.
 ⬇ antwoord (c)
Nu is $p_1=p_2$ ⇒ $z_1-z_2$ = 3,8 cm.
 ⬇ antwoord (d)
3,8 cm t.o.v. 75 cm is 5% ⇒ niet geheel juist, maar redelijke aanname.

Rondvaartboot

Een Delftse gracht is op een bepaalde plaats 4,0 m breed ($B_g$) en 1,4 m diep ($D_g$). Een rondvaartboot, die een diepgang $D_b$ heeft van 1,0 m en een breedte $B_b$ van 2,9 m, vaart hierin met een snelheid $v_b$ van 5,0 km/u. We modelleren de rondvaartboot als een rechthoekig blok.
a. Laat zien dat voor de watersnelheid $v_w$ langs de boot naar achteren geldt: $v_w = {v_bB_bD_b} / {B_gD_g – B_bD_b}$.
b. Hoeveel verandert de hoogte van de waterspiegel terwijl de boot langsvaart? Is dat omhoog, of omlaag?
 ⬇ antwoord (a)
Per seconde moet een volume water $V=v_vB_bD_b$ door een oppervlak $A=A_{gracht}-A_{boot}=B_gD_g – B_bD_b$ naar achteren stromen. Dit gaat dus met een snelheid $v_w = {v_bB_bD_b} / {B_gD_g – B_bD_b}$.
 ⬇ antwoord (b)
$v_w={(5,0/3,6)·2,9·1,0}/{4,0·1,4-2,9·1,0}$ = 1,49 m/s
Een volumetje water aan het oppervlak staat eerst stil en krijgt dan deze snelheid, terwijl de druk contant blijft (atmosferische druk), dus:
$1/2(0^2-v_2^2)+g(0-z_2)+0/ρ=0$ ⇒ $z_2=-{v_2^2}/{2g}$ = -0,113 m = -11 cm (negatief ⇒ omlaag).

Tentamenvraagstukken

Boeing - Drinkwater - Piramidebak

Laatste wijziging: 12-10-2022
Creative Commons-Licentie
Deze publicatie valt onder een Creative Commons licentie. Zie hiervoor het colofon.