Convectie van warmte

Convectie is transport doordat een fluïdum beweegt.
We kijken eerst naar convectie van warmte: de warmte wordt meegenomen door het fluïdum.
(Convectie van stof zal later aan de orde komen.)

Bij gedwongen convectie ligt de snelheid van het fluïdum vast. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de gasvlam onder de bodem van een ketel waarin water verhit wordt: de snelheid van het gas in de vlam bepaalt de snelheid van het warmteoverdrachtsproces.

Bij vrije convectie wordt de convectie bepaald door de overgedragen warmte. Een voorbeeld is de warmteoverdracht in het water boven de bodem van dezelfde ketel. Door het contact met het warme oppervlak krijgt het water een hogere temperatuur en daardoor een lagere dichtheid, waardoor dit water zal gaan stijgen. Daardoor wordt er nieuw, kouder water aangevoerd dat in contact komt met de bodem. De stroming wordt dus bepaald door de warmteoverdracht, en warmteoverdracht weer door de stroming.

⬇ animatie: Convectieprocessen bij het koken van water

(bron: Wikimedia Commons)

De warmtestroom bij convectie wordt door deze vergelijking beschreven:

$$Φ_q = hAΔT$$
Waarin $h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt is (in $W/{m^2K}$), die mede door de stroming wordt bepaald.

Net als in het geval van instationair warmtetransport, zijn de differentiaalvergelijkingen lastig op te lossen, waardoor $h$ niet analytisch te bepalen is. In dit geval maken we gebruik van dimensieloze vergelijkingen voor het berekenen van $h$, die zelf voorkomt in het getal van Nusselt, dat de verhouding van convectieve warmteoverdracht en geleiding uitdrukt:

$$Nu = {hd}/λ$$
TPDC-75/77 geeft een aantal van deze vergelijkingen.

Gedwongen convectie

Bij gedwongen convectie wordt $Nu$ bepaald door twee dimensieloze getallen:
• het getal van Reynolds (verhouding traagheidskrachten en viskeuze krachten):
$$Re = {ρvd}/µ$$ • het getal van Prandtl (verhouding impulstransport en warmtetransport):
$$Pr = {c_pµ}/λ$$
Het overzicht van de vergelijkingen is te vinden in het pdf-document convectierelaties^w.

De vergelijkingen geven steeds $Nu$ als functie van $Re$ en $Pr$. Daarmee wordt de warmteoverdracht dus gekoppeld aan de stromingseigenschappen en de warmtetransportgrootheden, alles dimensieloos. De vergelijkingen hebben een beperkt toepassingsgebied wat de waarden van $Re$ en $Pr$ betreft - daar moet uiteraard op gecontroleerd worden.

De stofeigenschappen dienen genomen te worden bij de filmtemperatuur $T_f$: dit is het gemiddelde van de temperatuur van het object ($T_o$) en de temperatuur in het fluïdum op grote afstand ($T_∞$ ): $T_f = {T_o+T_∞}/2$.

Voor een vlakke plaat is op TPDC-75 de waarde van $Nu$ gegeven op een afstand $x$ vanaf het begin van de plaat ($Nu_x$). Vaak wil je echter weten hoeveel warmte er gemiddeld getransporteerd wordt vanaf het begin van de plaat tot een bepaalde plaats. Daarvoor moet je de gegeven formule integreren over de afstand van de rand tot de gegeven plaats. Dat levert op:
$$⟨Nu⟩_{plaat} = 2·Nu_x = 0,664 · Re^{1/2} · Pr^{1/3}$$

Vrije convectie

Bij vrije convectie wordt $Nu$ ook bepaald door twee dimensieloze getallen:
• het getal van Grashof (verhouding opwaartse kracht en viskeuze krachten):
$$Gr = {d^3gρ^2}/{µ^2}·{Δρ}/⟨ρ⟩$$ • het getal van Prandtl (zoals bij gedwongen convectie)

Bij het getal van Grashof is het even opletten welke dichtheden moeten worden ingevuld:
• $ρ$ is de dichtheid bij $T_f$
• $Δρ$ is het verschil tussen de dichtheid bij $T_o$ en die bij $T_∞$
• $⟨ρ⟩$ is het gemiddelde van de dichtheid bij $T_o$ en die bij $T_∞$

Naast de op TPDC-75/77 gegeven formules voor vrije convectie is ook die voor een bol nuttig:
$$⟨Nu⟩_{bol, vrij} = 2,0$$ Voor vrije convectie tussen twee horizontale vlakke platen in een stabiele situatie (koud onder, warm boven) geldt:
$$⟨Nu⟩_{platen, vrij, stabiel} = 1,0$$

⊕ Naamgevers

De kentallen zijn genoemd naar Wilhelm Nußelt^w (1882-1957), Osbourne Reynolds^w (1842-1912), Ludwig Prandtl^w (1875-1953) en Franz Grashof^w (1826-1893).

Zie ook

Wet van Archimedes^w

Vraagstukken

Verwarmingsbuis

Bepaal de warmteoverdracht door vrije convectie rond een horizontale centraleverwarmingsbuis.

⬇ hint

Hier moet je zelf schattingen maken, bijvoorbeeld voor de buisdiameter, het temperatuurverschil en zo.

⬇ antwoord

(De hier gebruikte geschatte waarden van de grootheden staan tussen [ ].)
Kies een wandtemperatuur [60°C] en bepaal met de kamertemperatuur [20°C] het gemiddelde [40°C]. Gebruik die temperaturen om de stofeigenschappen voor $Gr$ op te zoeken. Bereken $Gr$
[${0,02^3·9,81·1,2^2}/{(1,8·10^{-5})^2} · {0,145}/{1,1325}$ = 4,466·10⁴]
en bereken met $Pr$=0,71 de waarde van $Gr·Pr$ [3,17·10⁴]. Kies juiste $Nu$-relatie [$Nu=0,53(Gr·Pr)^{1/4}$] en bereken $Nu$ [7,07]. Bepaal $h = Nu·λ/d$ [9,5 W/(m²K)]. Bereken de warmtestroom per meter buis: $φ_q = π·d·h·ΔT$ = 24 W/m.

Soep

Bepaal de warmteoverdracht boven een lepel soep van 80°C...
a. ... als er geblazen wordt;
b. ... als er niet geblazen wordt.

⬇ hint (a & b)

Maak zelf schattingen voor niet-gegeven grootheden. Neem de stofeigenschappen bij de juiste temperatuur: ${T_H+T_L}/2$, behalve bij het dichtheidsverschil natuurlijk.

⬇ antwoord (a)

(De hier gekozen voorbeeldwaarden staan tussen [ ].)
Kies blaassnelheid [1 m/s] en bereken $Re$ [1,89·10³] ⇒ $⟨Nu⟩= 0,664Re^{1/2}Pr^{1/3}$ = [25,8] en bepaal $h$ [1,3 W].

⬇ antwoord (b)

Nusseltrelatie nodig ⇒ eerst $Gr·Pr$ bepalen (temperaturen kiezen: soep [80 °C], lucht [20 °C]). In $Gr$ is $x$ de breedte van de lepel [3 cm] ⇒
$Gr = {0,03^3·9,81·1,2^2}/{(1,8·10^{-5})^2} · {1,2-1,0}/{1,1}$ = 2,18·10⁵
⇒ $GrPr$ = 1,55·10⁵ ⇒ $⟨Nu⟩= 0,54(Gr·Pr)^{1/4}$ = 10,7 ⇒ $h = Nu·λ/x$ = 9,99 W/(m²K) ⇒ $Φ_w = h·A·ΔT$ = 0,54 W.

Tentamenvraagstuk

Bol - Buizen - Cilinder - Knikker - Platen (1)

Laatste wijziging: 12-10-2022

Deze publicatie valt onder een Creative Commons licentie. Zie hiervoor het colofon.