Leidingsystemen: de frictiefactor

In een leidingensysteem bevinden zich allerlei onderdelen die wrijving met zich meebrengen: de wanden van de leidingen, bochten, afsluiters, enz.
In de mechanische-energiebalans:
$${dE_m}/{dt} = Φ_m(1/2(v_1^2-v_2^2) + g(z_1-z_2) + {p_1-p_2}/ρ - e_f) + Φ_w$$ vinden we dit verlies door wrijving terug in de term $e_f$: de dissipatie per massaeenheid (in J/kg).

Voor rechte leidingen geldt:
$$e_f = 4f1/2v^2L/D$$ waarin
• $f$ de frictiefactor
• $v$ de gemiddelde snelheid in de leiding
• $L$ de lengte van de leiding
• $D$ de diameter van de leiding
De frictiefactor $f$ is een functie van het Reynoldsgetal. Hiervoor is een grafiek beschikbaar: TPDC-84. Daarin is te zien dat voor laminaire stroming de weerstand heel anders verloopt dan in het turbulente gebied. In het overgangsgebied tussen deze twee regimes is het niet zeker in welke toestand de stroming zich zal bevinden: dat hangt af van de precieze condities in de leiding en de voorgeschiedenis van de vloeistof.

In het turbulente gebied is de frictiefactor ook afhankelijk van de relatieve ruwheid: dat is de wandruwheid $ε$ van de buis gedeeld door de buisdiameter $d$. Zie tabel 1 voor voorbeelden van wandruwheden.

Tabel 1. Enkele voorbeelden van (absolute) ruwheden.

materiaal	ruwheid (m)
staal, smeedijzer	4,6·10-5
gegalvaniseerd ijzer	1,5·10-4
gietijzer	2,6·10-4
beton	3·10-4 tot 3·10-3

Als er meerdere leidingen in een systeem zitten, kunnen we hun afzonderlijke waarden van $e_f$ bij elkaar optellen:
$$e_{f, leidingen} = ∑↙i{(4f1/2v^2L/D)_i}$$
Door de plaatsen waartussen de mechanische-energiebalans wordt opgesteld slim te kiezen, kunnen verschillende eigenschappen van het systeem bepaald worden. Stel dat we een leiding hebben met aan het begin een pomp, zoals in figuur 1.
Kiezen we de plaatsen 1 en 3 voor de balans, dan bevindt de pomp zich in het systeem, waardoor we $Φ_w$ in de vergelijking krijgen. Het drukverschil ($p_1-p_3$) is dan gelijk aan nul. Omdat ook $v_1$ gelijk is aan $v_3$ en $z_1$ aan $z_3$, kunnen we het benodigde vermogen $Φ_w$ bepalen als we de stofeigenschappen en de stroomsnelheid weten.
Maar kiezen we de plaatsen 2 en 3, dan bevindt de pomp zich buiten het systeem. Er is dan geen term $Φ_w$. Het drukverschil $p_2-p_3$ staat dan echter wél in de vergelijking. Zo kunnen we bepalen welke druk de pomp moet leveren om het fluïdum te verpompen.

Wat moeten we doen als v niet bekend is?

In de praktijk komen we tegen dat er wel een drukverschil over een leiding bekend is, maar de stroomsnelheid nog niet. We kunnen dan dus geen waarde van $f$ bepalen en daardoor $v$ niet berekenen. We zouden weer kunnen itereren, zoals bij de stationaire eindsnelheid van een vallend voorwerp: een waarde voor $v$ schatten, $f$ bepalen, enz.

Maar het blijkt mogelijk om een vergelijking op te stellen om $v$ te bepalen.
Voor een horizontale rechte kale leiding geldt:
$$Δp = 4f·1/2 ρ v^2L/D$$ (leid dit zelf af).
Deze vergelijking kunnen we, door het inschuiven van variabelen aan beide kanten en wat te knutselen, omschrijven tot:
$$f/2{ρ^2v^2D^2}/μ^2={ρD^3}/{4μ^2}{Δp}/L$$ ofwel:
$$f/2\ Re^2={ρD^3}/{4μ^2}{Δp}/L$$ Nu staan alle bekenden rechts, en kunnen we $1/2f\ Re^2$ uitrekenen. Omdat $f$ een functie is van $Re$ (en van de wandruwheid) kunnen we nu $Re$ bepalen uit de figuur op TPDC-85, zodat we de snelheid van het fluïdum kunnen berekenen.

Vraagstukken

Melk

Door een horizontale leiding in een melkfabriek stroomt volle melk, 5,0 liter per seconde. De leiding heeft een gladde binnenkant, een inwendige diameter van 5,0 cm en een lengte van 40 m.
a. Welk elektrisch vermogen $P$ moet de pomp hebben, als deze een rendement van 80% heeft?
b. Welke druk moet de pomp leveren?

Ketel

In een ketel bevindt zich een waterige vloeistof onder een druk van 250 kPa. Aan de ketel is een leiding verbonden met een inwendige diameter van 2,0 cm, een lengte van 3,0 m en een ruwheid van 0,010 cm. Door een fout komt de leiding in open verbinding met de lucht te staan. Met welk volumedebiet ontsnapt de vloeistof uit de ketel?

TB241E

Hoofdpagina
College-index
Thematische index
Alles op één pagina
Laatst gewijzigd
Colofon

Op deze pagina: