Weerstandskracht

Een schip, een fietser, een lepel in yoghurt, een vlaggenmast: ze ondervinden allemaal een weerstandskracht bij een snelheidsverschil met het omringende fluïdum^w. Deze kracht is tegengesteld is aan de bewegingsrichting, en afhankelijk van de stofeigenschappen van de vloeistof, de vorm en afmetingen van het voorwerp, en de onderlinge snelheid $v$ van het voorwerp en het fluïdum:

$$F_d = C_d · 1/2 ρ_f v^2 A_\⟘$$ Hierin is
• $C_d$ weerstandscoëfficiënt, die wordt bepaald door de vorm van het voorwerp en de waarde van het getal van Reynolds: $Re = {ρvx}/µ$
• $ρ_f$ de dichtheid van het fluïdum
• $A_\⟘$ het loodrechte oppervlak van het voorwerp

Het getal van Reynolds zullen we vaak tegenkomen.
Het is een van de vele dimensieloze getallen die gebruikt worden in dit vakgebied.

De waarde van $C_d$ kun je op drie manieren bepalen:
• Voor bollen, cilinders en schijven is $C_d$ als functie van $Re$ gegeven op TPDC-81.
• Voor verschillende andere voorwerpen is $C_d$ gegeven in de tabel op TPDC-79.
• Voor overige voorwerpen (of voor situaties waar TPDC-79+81 geen waardes geven) kan een benadering gemaakt worden op basis van deze figuur en tabel.

Loodrecht oppervlak

Het loodrechte oppervlak is het "platte" oppervlak zoals dat gezien wordt vanuit de stromingsrichting van het fluïdum.
Voorbeeld: voor een cilinder met lengte $L$ en diameter $D$, waarvan de as loodrecht op de stroming staat, geldt $A_\⟘ = L D$, want dat is het oppervlak van de rechthoek die je ziet als je vanuit de stromingsrichting naar de cilinder kijkt.
Ander voorbeeld: wat is het loodrechte oppervlak van deze Kever?

Hoeveel de vorm en het loodrechte oppervlak uitmaken in de weerstand is mooi te zien in dit filmpje^w over de wielrenner Michael Guerra.

Stationaire eindsnelheid

Een voorwerp dat een andere dichtheid heeft dan het fluïdum waar het zich in bevindt, zal gaan stijgen of dalen. Als de snelheid toeneemt, neemt ook de weerstandskracht $F_d$ toe, totdat deze even groot is als het totaal van de zwaartekracht $F_g$ en de Archimedeskracht^w $F_A$ die op het voorwerp werken. Daarna geldt:

$$F_d + F_g + F_A = 0,$$ zodat het voorwerp met een constante eindsnelheid $v_t$ beweegt.

Voor bollen kunnen we deze formule omwerken tot een formule voor de eindsnelheid:

$$v_t = √{{4 (ρ_v - ρ_f) g D }/{3 C_d ρ_f}}$$ Het probleem is dat we $C_d$ nog niet kunnen weten, omdat $v$ nog niet bekend is. In dat geval moeten we itereren (zie ook figuur 1):

1. Maak een schatting van $C_d$.
2. Bereken met bovenstaande formule de waarde voor $v_t$.
3. Bereken $Re$.
4. Bepaal met TPDC-81 de bijbehorende waarde van $C_d$.
5. Herhaal vanaf (2) totdat $v_t$ niet meer verandert.


Het is ook mogelijk om $v_t$ te schatten, en vervolgens bij stap (3) de iteratie in te gaan. Beide methoden leveren meestal binnen 2 à 3 iteraties een stabiele eindwaarde.

Wanneer een voorwerp nog niet de stationaire eindsnelheid bereikt heeft, is de weerstandskracht nog niet constant. In dat geval is er geen analytische oplossing mogelijk en zullen we een numerieke methode moeten gebruiken. Dat zullen we later doen.

Waarom beginnen we hiermee?

Met dit onderwerp zijn we midden in de praktijk van dit vak gedoken. We hebben kennisgemaakt met een aantal belangrijke praktische begrippen. Dimensieloze kentallen worden in dit vakgebied heel vaak gebruikt, omdat ze het mogelijk maken veel situaties te vangen in een enkele grafiek of formule. Ook het onderscheid tussen laminaire en turbulente stroming zullen we steeds tegengekomen, want veel verschijnselen vertonen een verschillend gedrag in deze twee regimes. We hebben logaritmische assen afgelezen, en ook die zullen we nogal eens zien, omdat de grootheden vaak vele ordes van grootte kunnen verschillen.

⊕ Etymologie

Het subscript d van $F_d$ en $C_d$ komt uit het Engels: drag force = weerstandskracht.
Dat geldt ook voor het subscript t in $v_t$: terminal velocity = eindsnelheid.

⊕ Wrijvings- en vormweerstand

De weerstandskracht is opgebouwd uit twee delen: de wrijvingsweerstand en de vormweerstand. De eerste is klein, en heeft alleen invloed bij lage waarden van $Re$. Bij hogere snelheden is de vormweerstand snel dominant.

Vraagstukken

Meetsonde

Een bolvormige meetsonde (diameter van 10 cm, massa 2,0 kg) hangt aan een touw onder een helikopter en wordt met een snelheid van 1,0 m/s door het water gesleept. De sonde is geheel ondergedompeld.
a. Welke hoek maakt het touw met de verticaal? (Verwaarloos de kracht die door de lucht op het touw wordt uitgeoefend.)
b. Als de snelheid wordt opgevoerd tot 4,0 m/s, wat worden dan $C_D$ en $F_D$?

Anemometer

De windsnelheid wordt vaak gemeten met een anemometer (open halve bolletjes aan een rotortje - zie afbeelding hieronder). Beredeneer op basis van informatie uit TPDC waarom deze meter gaat ronddraaien als er wind staat.

Parachutist

a. Maak een schatting van de topsnelheid die een parachutist zou bereiken zonder parachute.
b. Maak een schatting van de topsnelheid van een parachutist met geopende parachute.

Tentamenvraagstukken

Dikke druppels - Marianentrog - Nuna 6 - Sneeuwvlok - Zwemmer

TB241E

Hoofdpagina
College-index
Thematische index
Alles op één pagina
Laatst gewijzigd
Colofon

Op deze pagina: