Niet-newtonse vloeistoffen
Lang niet alle vloeistoffen houden zich aan de wet van Newton.
Er zijn vloeistoffen die makkelijker gaan stromen als er grote snelheidsverschillen zijn, of die dan juist extra stroperig worden. Er zijn vloeistoffen die een ingebouwde weerstand tegen stroming hebben, die eerst overwonnen moet worden voordat ze überhaupt willen stromen. Er zijn vloeistoffen die zich als elastiek gedragen. En nog veel meer varianten.
Deze vloeistoffen hoeven niet eens kunstmatig te zijn. Veel vloeistoffen van plantaardige of dierlijke oorsprong bevatten bijvoorbeeld eiwitten, koolhydraten of vetten en krijgen daardoor niet-newtonse eigenschappen. Bloed, margarine, mosterd en een maïzena-oplossing zijn voorbeelden.
Machtswetvloeistoffen
Bij machtswetvloeistoffen loopt het verband tussen de schuifspanning $τ_{zx}$ en de snelheidsgradiënt ${dv_x}/{dz}$ volgens een macht $n$:
$$τ_{zx}=-K({dv_x}/{dz})^n$$ waarin $K$ de consistentie (Engels: consistency) is.
Wanneer n < 1, lijkt de vloeistof bij hogere snelheidsgradiënten een lagere viscositeit te hebben. Dit kan bijvoorbeeld het geval zijn wanneer de vloeistof lange moleculen bevat. Die komen bij een hogere snelheidsgradiënt wat meer in dezelfde richting te liggen, waardoor ze gemakkelijker langs elkaar schuiven. Dit type vloeistof heet pseudoplastisch. Voorbeelden: bloed, latexverf, soep.
Als n > 1, lijkt de viscositeit bij een hogere snelheidsgradiënt juist een hogere viscositeit te krijgen. Deze vloeistoffen zijn extra lastig snel te mengen. Ze heten dilatant. Maïzenapap is een voorbeeld.
Eigenlijk zijn newtonse vloeistoffen (n = 1) een bijzonder geval van machtswetvloeistoffen: ze zijn het grensgeval tussen pseudoplastische en dilatante vloeistoffen. Water, honing (niet-gekristalliseerd), suikerstroop zijn voorbeelden van newtonse. Ook gassen gedragen zich meestal newtons.
Bingham-vloeistoffen
Bingham-vloeistoffen stromen alleen als de schuifspanning boven een bepaalde grenswaarde (de zwichtspanning) komt. Deze zwichtspanning wordt genoteerd als $τ_0$ of $τ_y$ (van het Engels: yield stress). Veel voedingsmiddelen hebben deze eigenschap: ze zijn smeerbaar, maar blijven in hun vorm staan als er geen externe kracht op wordt uitgeoefend. Denk aan margarine, pindakaas, mosterd en mayonaise. Ook klei en tandpasta hebben een zwichtspanning.
Figuur 1 laat de relatie tussen de schuifspanning en de snelheidsgradiënt zien voor verschillende typen vloeistoffen.
Andere typen
Machtswet- en Bingham-vloeistoffen zijn eenvoudige modellen waarmee veel vloeistoffen voldoende mee beschreven kunnen worden, maar er zijn vloeistoffen met heel andere soorten niet-newtons gedrag. Deze vallen buiten de inhoud van deze module, maar zijn wel interessant om te kennen - zie bijvoorbeeld dit filmpjew.
Vraagstukken
Saus
In een productieproces in de voedingsindustrie bevindt zich tussen twee parallelle, vertikale platen een saus met een dichtheid van 1200 kg/m³. De afstand tussen de platen is 1,0 cm.a. Leid af hoe de schuifspanning afhangt van de x-coördinaat. Kies de x-richting loodrecht op de platen, met het nulpunt voor x midden tussen de twee platen, en de z-richting vertikaal.
De machtswet waarmee de saus beschreven wordt, is:
$τ_{xz} = -4,2·({dv_z}/{dx})^{0,51}$
b. Laat zien dat voor de vertikale snelheid geldt: $v_z = c_1x^{2,96} +c_2$, waarin $c_1$ en $c_2$ constanten zijn, en geef de waarden van deze constanten.
c. Wat is de maximale snelheid van de saus?
⬇ hint
Gebruik de impulsbalans voor z-richting.
⬇ antwoord (a)
$ρ ( {∂v_z/∂t} + v_x{∂v_z/∂x} + v_y{∂v_z/∂y} + v_z{∂v_z/∂z} ) = - ( ∂τ_{xz}/∂x + ∂τ_{yz}/∂y + ∂τ_{zz}/∂z ) - {∂p}/{∂z} + ρg_z$
${∂...}/{∂t} = 0$ (stationair); $v_x = v_y = 0$ (geen beweging in x- en y-richting); ${∂...}/{∂z} = 0$ (geen veranderingen in de z-richting); ${∂p}/{∂z} = 0$ (geen drukval in de z-richting).
Blijft over: $0 = - {∂τ_{xz}}/{∂x} + ρg_z = - {∂τ_{xz}}/{∂x} - ρg$ ⇒ ${∂τ_{xz}}/{∂x} = ρg$ ⇒ $τ_{xz} = - ρ·g·x + C_{int}$.
In midden: symmetrisch ⇒ $τ_{xz} = 0$ ⇒ $C_{int}$ = 0 ⇒ $τ_{xz} = - ρ·g·x$ (tot zover onafhankelijk van stofeigenschappen)
${∂...}/{∂t} = 0$ (stationair); $v_x = v_y = 0$ (geen beweging in x- en y-richting); ${∂...}/{∂z} = 0$ (geen veranderingen in de z-richting); ${∂p}/{∂z} = 0$ (geen drukval in de z-richting).
Blijft over: $0 = - {∂τ_{xz}}/{∂x} + ρg_z = - {∂τ_{xz}}/{∂x} - ρg$ ⇒ ${∂τ_{xz}}/{∂x} = ρg$ ⇒ $τ_{xz} = - ρ·g·x + C_{int}$.
In midden: symmetrisch ⇒ $τ_{xz} = 0$ ⇒ $C_{int}$ = 0 ⇒ $τ_{xz} = - ρ·g·x$ (tot zover onafhankelijk van stofeigenschappen)
⬇ antwoord (b)
⇒ $τ_{xz} = -4,2·({dv_z}/{dx})^{0,51} = -ρ·g·x$.
$({dv_z}/{dx})^{0,51} = {ρ·g·x}/{4,2}$ ⇒ ${dv_z}/{dx} = ({ρ·g·x}/{4,2})^{1/{0,51}}$ ⇒ ${dv_z}/{dx} =C·x^{1,96}$
Variabelen scheiden, integreren, randvoorwaarde (snelheid nul op buiswand), levert:
$v_z$ = 1,94·106 $x^{2,96}$ - 0,30
$({dv_z}/{dx})^{0,51} = {ρ·g·x}/{4,2}$ ⇒ ${dv_z}/{dx} = ({ρ·g·x}/{4,2})^{1/{0,51}}$ ⇒ ${dv_z}/{dx} =C·x^{1,96}$
Variabelen scheiden, integreren, randvoorwaarde (snelheid nul op buiswand), levert:
$v_z$ = 1,94·106 $x^{2,96}$ - 0,30
⬇ antwoord (c)
snelheid maximaal voor $x$=0: 0,30 m/s
Boterhampasta
Op de boterham van een kleuter zit een laag boterhampasta van 4,0 mm dik. De pasta gedraagt zich als een Binghamvloeistof met een zwichtspanning $τ_0$ van 25 Pa. De dichtheid van de pasta is 1050 kg/m³.a. Onder welke hoek met de horizontaal mag de boterham gehouden worden zodat de pasta nog net niet begint te schuiven?
De kleuter houdt de boterham vertikaal, zodat de pasta gaat stromen.
b. Hoe dik is de laag waarin geen snelheidsverschillen optreden?
c. Teken het schuifspanningsprofiel en het snelheidsprofiel.
⬇ hint
Bingham: geen stroming als $τ$ kleiner dan $τ_0$. Met impulsbalans.
⬇ antwoord (a)
$ρ ( {∂v_z/∂t} + v_x{∂v_z/∂x} + v_y{∂v_z/∂y} + v_z{∂v_z/∂z} ) = - ( ∂τ_{xz}/∂x + ∂τ_{yz}/∂y + ∂τ_{zz}/∂z ) - {∂p}/{∂z} + ρg_z$
Assenstelsel: $z$ langs vloeistofoppervlak omhoog, $x$ loodrecht op vloeistofoppervlak, richting boterham.
Stationair, geen snelheden in x- en y-richting, geen gradiënten in y- en z-richting
⇒ $0 = - {dτ_{xz}}/{dx} + ρ·g_z$; $g_z = -g·sin(α)$, met $α$ de hoek tussen boterham en horizontaal.
${dτ_{xz}}/{dx} = ρ·g·sin(α)$; integreren met randvoorwaarde $τ$ = 0 voor $x$ = 0: $τ_{xz} = -ρ·g·x·sin(α)$.
$τ_{xz}$ is maximaal voor $x = d$ (laagdikte) ⇒ $ρ·g·d·sin(α)$ < 25 ⇒ $α$ < 37°.
Assenstelsel: $z$ langs vloeistofoppervlak omhoog, $x$ loodrecht op vloeistofoppervlak, richting boterham.
Stationair, geen snelheden in x- en y-richting, geen gradiënten in y- en z-richting
⇒ $0 = - {dτ_{xz}}/{dx} + ρ·g_z$; $g_z = -g·sin(α)$, met $α$ de hoek tussen boterham en horizontaal.
${dτ_{xz}}/{dx} = ρ·g·sin(α)$; integreren met randvoorwaarde $τ$ = 0 voor $x$ = 0: $τ_{xz} = -ρ·g·x·sin(α)$.
$τ_{xz}$ is maximaal voor $x = d$ (laagdikte) ⇒ $ρ·g·d·sin(α)$ < 25 ⇒ $α$ < 37°.
⬇ antwoord (b)
$α$ = 90° ⇒ $τ_{xz} = -ρ·g·x$. Dit is gelijk aan 25 voor $d_0$ = 2,4 mm.
(De laag zonder snelheidsgradiënt ligt het dichtst bij het pastaoppervlak!)
(De laag zonder snelheidsgradiënt ligt het dichtst bij het pastaoppervlak!)
Schuin
Een laag van een Binghamvloeistof bevindt zich tussen twee evenwijdige platen. De platen wordt zo schuin gezet dat de schuifspanning in de vloeistof bij het plaatoppervlak vier keer zo hoog is als de zwichtspanning $τ_0$. Teken het snelheidsprofiel in de vloeistof. De maximale snelheid hoeft niet uitgerekend te worden en mag $v_{max}$ genoemd worden. Teken recht bedoelde lijnen ook werkelijk recht. ⬇ antwoord
Tekening: $x$-as midden tussen platen; $z$-as loodrecht daarop; $z$ loopt van $-d/2$ tot $d/2$.
Uniform snelheidsprofiel ($v_x = v_{max}$) tussen $-1/8d$ en $1/8d$.
Daarbuiten kwadratisch verloop naar $v_x$ = 0 op de platen.
▶ WERK IN UITVOERING: Een figuur hier zou handig zijn.
Uniform snelheidsprofiel ($v_x = v_{max}$) tussen $-1/8d$ en $1/8d$.
Daarbuiten kwadratisch verloop naar $v_x$ = 0 op de platen.
▶ WERK IN UITVOERING: Een figuur hier zou handig zijn.
Tentamenvraagstukken
Drukgradiënt - Machtswet - Modder (2) - Pasta - Polymeer - Tandpasta - VloeistofLaatste wijziging: 31-08-2023
Deze publicatie valt onder een Creative Commons licentie. Zie hiervoor het colofon.
Deze publicatie valt onder een Creative Commons licentie. Zie hiervoor het colofon.
