Massatransport (diffusie en convectie)


Zoals er bij warmte sprake is van transport dóór een stof heen (geleiding) en met een stof mee (convectie) is er bij massa (stof, materie) sprake van diffusie (door een andere stof heen bewegend) en convectie (met een andere stof meegevoerd).

Diffusie

Wanneer een stof zich in een andere stof bevindt, zoals zuurstof die is opgelost in water, of methaan in lucht, kan deze door de omringende stof heen bewegen. Deze beweging heet diffusie. Is er dan een concentratieverschil, dan zal de stof door dit proces van de hoge naar de lage concentratie stromen.

De transportvergelijking voor massa ($m$) luidt (zie transportvergelijkingen):
$$φ_{m,x} = -D {dC}/{dx}$$ Hierin is $D$ de diffusiecoëfficiënt (eenheid: m²/s).

De diffusiecoëfficiënt is een stofeigenschap van een combinatie van twee stoffen, waarbij één van de stoffen in relatief lage concentratie in de ander voorkomt. In gassen verloopt het diffusieproces veel sneller dan in vloeistoffen, en daarin weer sneller dan in vaste stoffen. Er zijn combinaties van stoffen waarvan de diffusiecoëfficiënt voor alle praktische toepassingen gelijk is aan nul. Een aantal waarden voor $D$ zijn te vinden op TPDC-135/136.

Bij diffusie "stroomt" massa van een plaats met een hoge concentratie naar een plaats met een lage concentratie. Dat gaat eigenlijk "vanzelf", door de willekeurige bewegingen van de moleculen. Hieronder staat een simulatie van diffusie, waarin de moleculen willekeurig bewegen, waardoor de stof over het hele volume verdeeld wordt.

Klik hier voor een simulatie van diffusie.w

Als er een concentratieverschil $ΔC$ optreedt over een afstand d, leidt dit, analoog aan het geval van warmte tot een stofstroom:
$$Φ_m = A·φ_{m,x} = AD {dC}/{dx} = AD {ΔC}/d$$

Convectie


Bij stroming langs een wand zal er stof meegevoerd kunnen worden door convectie. Ook hier lijken de formules op die van warmteoverdracht:

$$Φ_m = A·k·(C_1-C_2) = A k ΔC$$
We zullen later zien hoe we $k$ kunnen berekenen.

Zowel bij diffusie als bij convectie moeten we er goed op letten dat we de concentratieverschillen nemen in de stof waarin we het transport bekijken. Voor diffusie van geurstof uit een bolletje is dat het concentratieverschil binnen het bolletje voor de diffusie, maar het concetratieverschil in de lucht voor de convectie door de lucht.

⊕ Hierdoor wordt het lastig om met een totale stofoverdrachtscoëfficiënt te werken, zoals de totale warmteoverdrachtscoëfficiënt $U$ bij warmte. Het is te doen, maar we moeten rekening houden met de verdelingscoëfficiënt bij het grensvlak. Dit valt buiten de inhoud van deze module.

Vraagstukken

Zuurstof

Aan één uiteinde van een buisje dat met water gevuld is, bedraagt de zuurstofconcentratie in het water 15·10-4 mol/L, aan het andere uiteinde 5,0·10-4 mol/L. Het buisje heeft een lengte van 3,0 cm en een diameter van 3,0 mm. Hoeveel bedraagt de totale zuurstofstroom door het water in het buisje?
 ⬇ antwoord
1 mol/L = 1000 mol/m³ ⇒ $φ_m = -D {dC}/{dx}$ = 2,33·10-9 (1,0/0,03) = 7,77·10-8 mol/(m²s)
⇒ $Φ_m = φ_m·A = φ_m·π/4D^2$ = 5,5·10-13 mol/s.

Koolstofdioxide

Een horizontaal buisje met een lengte van 5,0 cm en een diameter van 2,0 mm is gevuld met water. Aan één uiteinde bevindt het zich in zuiver kooldioxide. Langs het andere uiteinde stroomt continu zuivere stikstof. Hoeveel CO2 diffundeert per seconde door het buisje?
 ⬇ hint
Reken de koolstofdioxideconcentratie aan het einde dat zich in kooldioxide bevindt uit met de wet van Henry (zoals eerder besproken). Aan de andere zijde is de concentratie nul, want alle koolstofdioxide wordt direct door de stikstof afgevoerd.
 ⬇ antwoord
Voor koolstofdioxide geldt $H$ = 14,8·107 Pa ⇒ $x$ = 1·105/14,8·107 = 6,76·10-4 mol/mol ⇒ 0,038 mol/kg ⇒ 38 mol/m³. De diffusiecoëfficiënt $D$ van koolstofdioxide in water is 1,60·10-9 m²/s. Dus $φ_m = - D {C_1}/L$ = 1,216·10-6 mol/m²s. $Φ_m$ bedraagt dus 3,8·10-12 mol/s ($A$ = 3,14·10-6 m²).

Tank

Op de bodem van een tank ligt een laag zout van 100 kg. Het grondoppervlak van de tank is 0,50 m². Op de zoutlaag staat een laag water van 1,0 m. De verzadigingsconcentratie van het zout in water is 300 kg/m³. Er wordt geroerd, waardoor de stofoverdrachtscoëfficiënt op het water-zout-grensvlak gelijk is aan 1,0·10-3 m/s. Hoe lang duurt het voordat al het zout is opgelost?
(naar een opgave uit 200 vraagstukken FTw)
 ⬇ hint
De essentie van de opgave is een massabalans over het zout in het water.
 ⬇ antwoord
Massabalans: ${dm}/{dt} = V{dC}/{dt} = k·A·ΔC$. Scheiden van variabelen: ${dC}/{C-C*} = -{kA}/Vdt$.
Uitwerken van de integraal levert: $C = C*·(1 - e^{-{kA}/Vt})$. Alles is opgelost als $C = m / V = 100 / {1·0,5}$ = 200 kg/m³ ⇒ $t$ = 18 min.

Tentamenvraagstukken

Diffusie vs stroming - Kristallen - Helium - Stikstof

Laatste wijziging: 11-08-2016
Creative Commons-Licentie
Deze publicatie valt onder een Creative Commons licentie. Zie hiervoor het colofon.